Porovnanie $a^b$ a $b^a$

[Martin Sleziak]

Otázka (asi najmä) blízka matematickej analýze.
Vedeli by ste povedať, ktoré z týchto čísel je väčšie?

• ${100}^{101}$ a ${101}^{100}$
• ${2018}^{2017}$ a ${2017}^{2018}$
• ${\pi}^{e}$ a ${e}^{\pi}$

Alebo všeobecnejšie, ktoré číslo je väčšie z dvojice
$$a^b\qquad\text{a}\qquad b^a$$
ak $a<b$ a obe čísla sú dosť veľké. (Pri riešení by ste mali prísť na to, čo znamená dosť veľké.)

Hint: Oplatí sa skúsiť pozrieť na prebeh funkcie $f(x)=x^{\frac 1x}$ alebo $g(x)=\frac{\ln x}x$.

Spoiler:

$a^b>b^a$ $\Leftrightarrow$ $b\ln a > a\ln b$ $\Leftrightarrow$ $\frac{\ln a}a > \frac{ln b}b$

Ak zderivujete funkciu $g(x)=\frac{\ln x}x$, mali by ste prísť nato že je klesajúca pre $x>e$.

[Martin Sleziak]

A azda pridám aj pár liniek:

• Comparing $\pi^e$ and $e^\pi$ without calculating them
• Fastest way to check if $x^y > y^x$?
• Why $e^x$ is always greater than $x^e$?
• A question comparing $\pi^e$ to $e^\pi$
• Is $202^{303}$ greater or $303^{202}$?

[Martin Sleziak]

Pridal som k tejto téme aj video na Google Drive. V tomto adresári je to video xyyx.mp4.

0:03 Formulácia problému, ktorý chceme riešiť - porovnanie x^y a y^x
1:03 Niektoré konkrétne príklady
2:54 Súvis s funkciou f(x)=x^(1/x) a g(x)=ln(f(x))
4:25 Načrtneme graf g(x)
6:10 Ideme derivovať g(x)
6:51 Nájdeme kde g'(x)=0 a kde je derivácia kladná resp. záporná
8:03 Čo vieme povedať o funkcie g(x) a tým pádom o pôvodnej otázke