Ak niekto zverejní riešenie úlohy, ktoré nebude správne, znamená to, že daná úloha je rezervovaná pre dotyčného riešiteľa dovtedy, kým jeho riešenie nebude správne, alebo kým úlohu nevzdá.
Úloha 1.2. Nech (G,⋅) je grupa. Pre ľubovoľné podmnožiny A,B⊆G definujeme
A⋅B={a⋅b;a,b∈G}.
Dokážte: Ak H je podgrupa grupy (G,⋅) tak H2=H⋅H=H.
Úloha 1.3* Každá konečná grupa s párnym počtom prvkov obsahuje prvok x≠e taký, že x=x−1.
Úloha 1.5.* Nech G je grupa a a,b∈G. Nech pre tieto prvky platia rovnosti aba=ba2b, a3=e a pre nejaké n∈N platí b2n−1=e. Dokážte, že b=e.
(Hint vedeli by ste ukázať ab2=b2a? Dá sa to ďalej použiť na dôkaz, že pre tieto prvky platí ab=ba?)
Úloha 1.6. Budeme pracovať v grupe (R,+).
a) Dokážte, že [{2,3}]=Z;
b) Dokážte, že [{1,√2}]={a+b√2;a,b∈Z}.
c∗) Je možné podgrupu [{1,√2}] generovať jediným prvkom?
Úloha 2.4. Nech V je vektorový priestor nad poľom R. Je aj každá podgrupa grupy (V,+) podpriestorom priestoru V? Ako je to s vektorovými priestormi nad poľom Zp?
Úloha 3.7. Nech (G,∗) je ľubovoľná grupa. Dokážte, že zobrazenie g↦g∗g je homomorfizmus z G do G práve vtedy, keď G je komutatívna.
Úloha 4.1. Ak počet inverzií permutácie (12…na1a2…an) je k, zistite počet inverzií permutácie (12…nanan−1…a1).
Úloha 4.2. Dokážte, že alternujúca grupa An je generovaná:
a) Množinou všetkých cyklov (ijk) dĺžky 3.
b) Množinou cyklov dĺžky 3 tvaru (123),(124),…,(12n).
Úloha 4.3. Koľko permutácií z grupy Sn má rád 2?
Úloha 4.4. Zistite, či pre ľubovoľnú podmnožinu A grupy G platí AA−1=A−1A. Svoje tvrdenie zdôvodnite. (A−1={a−1;a∈A})
Úloha 4.5. Vieme, že ak H◃G (H je normálna podgrupa grupy G), tak predpis
(aH)⋅(bH)=(ab)H
dobre definuje binárnu operáciu na množine ľavých tried rozkladu G podľa H. Ukážte, že platí aj opačná implikácia: Ak uvedený predpis dobre definuje binárnu operáciu, tak H◃G. (Teda invariantnosť podgrupy H je nielen postačujúca ale aj nutná podmienka na to, aby táto binárna operácia bola dobre definovaná.)
Úloha 5.1. Nech H je podgrupa grupy G a [G:H]=n.
a) Ukážte, že ak H je normálna podgrupa, tak pre každé x∈G platí xn∈H.
b) Platí toto tvrdenie pre ľubovoľnú podgrupu (t.j. aj bez predpokladu, že H je normálna)?
Úloha 5.4. Dokážte, že ak f:G→H je surjektívny homomorfizmus grúp, tak ľavý (pravý) rozklad grupy G podľa normálnej podgrupy Kerf pozostáva presne z množín f−1(x)={g∈G;f(g)=x} pre x∈H.
Úloha 5.5 Nech f,g:(G,∗)→(H,∘) sú homomorfizmy grúp. Definujme zobrazeníe h:G→H ako h(x)=f(x)∘g(x). Bude aj h homomorfizmus? Bude h homomorfizmus v prípade, že H je komutatívna?
Úloha 6.1 Nech φ:G→H je homomorfizmus grúp. Nech g∈G. Označme h:=φ(g), A:=φ−1(h)={x∈G;φ(x)=h} a K:=Kerφ. Dokážte, že A=gK.
Úloha 6.2 Ak H a H′ sú normálne podgrupy G také, že H∩H′={e}, tak hh′=h′h pre ľubovoľné h∈H a h′∈H′.