Prienik dvoch rovín v $\mathbb R^4$

[Martin Sleziak]

Úlohou bolo nájsť prienik dvoch rovín v $\mathbb R^4$ a povedať niečo o ich vzájomnej polohe.$\newcommand{\vekt}[1]{\overrightarrow{#1}}$

Do istej miery podobná úloha je tu: http://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=1418
Tam ale boli obe roviny zadané parametricky.

Tiež spomeniem, že obe skupiny boli zadané tak, že platí $V_\alpha\oplus V_\beta=\mathbb R^4$.
Z tejto informácie by ste mali byť schopní prísť na to, že prienik je jediný bod a že $\alpha$ a $\beta$ sú mimobežné.

Spoiler:

Body v $\alpha$ resp. v $\beta$ môžeme vyjadriť ako
\begin{align*}
X&=A+a\vec u_1+b\vec u_2\\
X&=B+c\vec v_1+d\vec v_2
\end{align*}
ak sme zobrali nejaký bod $A$ z $\alpha$ a vektory $\vec u_{1,2}$, ktoré generujú vektorovú zložku. (Podobne pre $\beta$.)

Hľadáme body, pre ktoré platí
$$A+a\vec u_1+b\vec u_2=B+c\vec v_1+d\vec v_2$$
čo je ekvivalentné s
$$\vekt{AB}=a\vec u_1+b\vec u_2-c\vec v_1-d\vec v_2.$$
Pretože vektory $\vec u_1,\vec u_2,\vec v_1,\vec v_2$ tvoria bázu v $\mathbb R^4$, riešením je jediná štvorica $(a,b,c,d)$.

Prienik bodových zložiek je teda jediný bod.

Súčasne máme $V_\alpha\cap V_\beta=\{\vec0\}$, teda sú to mimobežné podpriestory.

[Martin Sleziak]

Pozrime sa na nejaké možné riešenia pre niektorú zo skupín.

\begin{gather*}
\alpha\equiv\{(x_1,x_2,x_3,x_4); x_1+2x_2+2x_3+x_4=-8, 3x_1+x_2+x_4=-2\}\\
\beta \equiv
\begin{cases}
x_1=3+t\\
x_2=1+s+t\\
x_3=t\\
x_4=1+s-3t
\end{cases}
\end{gather*}

Sústava rovníc. Môžeme napríklad nájsť všeobecné vyjadrenie pre podpriestor $\beta$. Potom ak vezmeme rovnice pre $\alpha$ aj pre $\beta$, dostaneme sústavu rovníc, ktorej riešenia sú presne body z prieniku.

Všeobecné vyjadrenie pre $\beta$ je
\begin{align*}
x_1-x_3&=3\\
4x_1-x_2+x_4&=12
\end{align*}

Spoiler:

Podpriestor $V_\beta$ je riadkový podpriestor týchto matíc:
$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 &-3 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 &-4 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
$

Z toho vieme vyčítať homogénnu sústavu, ktorej množina riešení je presne podpriestor $V_\beta$:
$$\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 &-1 & 0 & 0 \\
4 &-1 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right)$$

Po dosadení bodu $B=(3,1,0,1)$ vieme dopočítať pravé strany
$$\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 &-1 & 0 & 3 \\
4 &-1 & 0 & 1 &12
\end{array}\right)$$

Na nájdenie prieniku teda riešime sústavu štyroch rovníc:
$\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 &-1 & 0 & 3 \\
4 &-1 & 0 & 1 &12 \\
1 & 2 & 2 & 1 &-8 \\
3 & 1 & 0 & 1 &-2 \\
\end{array}\right)\sim\dots\sim
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 & 0 & 14\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 11\\
0 & 0 & 0 & 1 &-44\\
\end{array}\right)
$

Zistili sme, že prienik obsahuje jediný bod $(14,0,11,-44)$.

Spoiler:

$\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 &-1 & 0 & 3 \\
4 &-1 & 0 & 1 &12 \\
1 & 2 & 2 & 1 &-8 \\
3 & 1 & 0 & 1 &-2 \\
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 &-1 & 0 & 3 \\
0 &-1 & 4 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 3 & 1 &-11\\
0 & 1 & 3 & 1 &-11\\
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 &-1 & 0 & 3 \\
0 &-1 & 4 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 3 & 1 &-11\\
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 &-1 & 0 & 3 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 4 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 3 & 1 &-11\\
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 &-1 & 0 & 3 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 11\\
0 & 0 & 3 & 1 &-11\\
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 & 0 & 14\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 11\\
0 & 0 & 0 & 1 &-44\\
\end{array}\right)
$

Dosadiť parametrické do všeobecného. Máme zadané parametrické vyjadrenie pre $\beta$, to môžeme dosadiť do všeobecného vyjadrenia podpriestoru $\alpha$.

\begin{align*}
x_1+2x_2+2x_3+x_4&=-8\\
3x_1+x_2+x_4&=-2\\\hline
(3+t)+2(1+s+t)+2t+(1+s-3t)&=-8\\
3(3+t)+(1+s+t)+(1+s-3t)&=-2\\\hline
6+3s+2t&=-8\\
11+2s+t&=-2\\\hline
3s+2t&=-14\\
2s+t&=-13\\\hline
s&=-12\\
t&=11
\end{align*}

Ak dosadíme do parametrického vyjadrenie hodnoty $s=-12$ a $t=11$, dostávame bod $(14,0,11,-44)$.

[Martin Sleziak]

Prienik bodových zložiek vs. prienik vektorových zložiek$\newcommand{\body}[1]{\mathcal{#1}}$
Niektorí z vás sa pozerali ešte aj na prienik vektorových zložiek. (Ak dva podpriestory sú rôznobežné, tak už vieme, že nemôžu byť mimobežné či rovnobežné: viewtopic.php?t=1674 Ale určite nie je na škodu, že ste sa pozreli na to, ako je to v tomto konkrétnom prípade.)

Chcem tu ale spomenúť, že ak sme už našli prienik bodových zložiek, tak ľahko vidíme, aký je prienik vektorových zložiek.
Ak $\body B(\alpha)\cap\body B(\beta)\ne\emptyset$, tak prienik určuje bodovú zložku nejakého afinného podpriestoru. (T.j. prienik dvoch afinných podpriestorov je buď prázdna množina alebo je to tiež afinný podpriestor.)
Ak poznám bodovú zložku afinného podpriestoru, tak z nej viem vyčítať aj vektorovú zložku.

V tomto prípade, ak sme už zistili, že prienik je jediný bod, tak prienik vektorových zložiek je triviálny podpriestor $\{\vec0\}$.

Chyby, ktoré sa vyskytovali

V jednom z riešení som si prečítal

Prienik dvoch rôznobežných rovín je priamka.

Z toho, čo sme vypočítali vyššie, vidno že zadané roviny sú rôznobežné a ich prienik je iba jediný bod. Dôležité je to, že tu pracujeme v $\mathbb R^4$.
Ak vám vaša intuicía hovorí, že dve rovnobežné roviny by mali mať ako prienik priamku, je to úplne správna intuícia ak pracujeme v $\mathbb R^3$. Nemusí to ale fungovať v iných rozmeroch.