Možno človeku vcelku prirodzene napadne otázka, akým spôsobom sa dajú ostatné koeficienty vyjadriť pomocou jednotlivých prvkov matice $A$.
Bez dôkazu aspoň spomeniem, že koeficient $c_{n-k}$ pri $x^{n-k}$ sa dá vyjadriť ako súčet determinantov podmatíc rozmerov $k\times k$, pričom vyberáme tie isté riadky a stĺpce, vynásobený $(-1)^k$.
Môžeme si všimnúť, že to sedí s tým, čo sme povedali o dvoch koeficientov - raz sme mali determinant celej matice, čo je jediná podmatica $n\times n$; takisto stopu dostaneme ako súčet determinantov vhodných podmatíc $1\times1$.
Pridám sem aspoň nejaké konkrétne príklady, aby bolo jasnejšie, čo vlastne tvrdíme. (Súčasne z tohoto príkladu vidíme, že pre väčšie rozmery toto asi nie je veľmi praktický spôsob, ako počítať charakteristický polynóm. Ale je azda zaujímavé niečo takéto vidieť - ak sa človek dozvie o takomto tvrdení, tak asi prirodzené veci, ktoré bude skúšať, sú otestovať to na nejakých príkladoch, rozmýšľať nad tým, či sa to dá na niečo užitočné použiť, a tiež na tým, prečo to platí a ako by sa to dalo dokázať.)
Nejaké odkazy, kde sa dá nájsť dôkaz:
- Mathematics Stack Exchange: Coefficients of characteristic polynomial of a matrix, Coefficients of the characteristic polynomial $\det(xI+A)$
- Horn, Johnson: Matrix Analysis (CUP 1990): Theorem 1.2.16
- Corollary 6.164 v Grinberg: Notes on the combinatorial fundamentals of algebra (Wayback Machine)