Úlohy LS 2020/21

[Martin Sleziak]

V tomto vlákne budem zverejňovať úlohy, za ktorých vyriešenie na fóre môžete získať nejaké body navyše. (Nezaručujem, že sa objavia nové úlohy každý týždeň. Obvykle sa úlohy objavia po cviku, na ktorom sme preberali danú tému.)

• Za riešenia úloh na fóre sa dá získať maximálne 5 bodov. Za správne riešenie úlohy sa dá získať 1 bod.
• Ak niekto začne riešiť úlohu a riešenie bude nesprávne (alebo čiastočne nesprávne), stále má možnosť ju opraviť - podľa možnosti teda nechajte kolegov doriešiť úlohu a svoje riešenie tej istej úlohy pošlite až vtedy, ak explicitne napíše, že už v riešení neplánuje pokračovať alebo keď už má svoje riešenie obodované.
• Keď budete posielať riešenie nejakej úlohy, začnite samostatný topic a do názvu dajte číslo úlohy. Zadanie úlohy sa dá ľahko skopírovať, keď kliknete na quote.
• Azda nezaškodí dať do názvu topicu aj niečo z čoho je jasné, o čo v úlohe ide.

Úmysel je zhruba ten, že je lepšie, keď vám prípadné chyby vytknem v riešení, ktoré tu zverejníte, ako na písomke alebo na skúške.

Ak sa tu objaví nejaké riešenie a bude vám v ňom niečo nejasné, tak sa neváhajte pýtať.

Počítajte s tým, že riešenia úloh dám časom preč (niekedy po skončení skúškového) - aby mohli podobné zadania znovu riešiť vaši kolegovia, ktorých budeme učiť ten istý predmet. Čiže ak si vaše riešenia chcete odložiť, treba to urobiť niekedy do konca skúškového.)

Nejaký základný help k tomu, ako písať matiku, je tu. Pre človeka, ktorý v živote nerobil s TeX-om môže zabrať nejaký čas, kým sa naučí základy. Každopádne - aj ak sa budete vyhýbať TeX-u - snažte sa písať tak, aby to bolo čitateľné.

[Martin Sleziak]

Úloha 1.1. Dokážte priamo z definície, že pre ľubovoľný vektor $\vec\alpha$ platí $\langle\vec\alpha,\vec0\rangle=0$. (Priamo z definície znamená, že môžete použiť iba tie štyri vlastnosti skalárneho súčinu, ktoré sme uviedli v definícii.)

Viacero ďalších úloh sa týka overenia, či ide o skalárny súčin.
(Pri overovaní definície skalárneho súčinu je väčšinou najzaujímavejšia štvrtá podmienka. Ak teda ukazujete, že ide o skalárny súčin, overte štvrtú podmienku a jednu z ostatných troch. Samozrejme, ak sa snažíte nájsť kontrapríklad, tak si treba vybrať tú podmienku, ktorá neplatí. Ak uvediete kontrapríklad, bolo by fajn stručne napísať aj to, ako ste na ten kontrapríklad prišli.)

Úloha 1.2. Zistite, či predpis $\langle\vec\alpha,\vec\beta\rangle=a_1b_1+a_1b_2+a_2b_1+a_2b_2+a_2b_3+a_3b_2+a_3b_3$ určuje skalárny súčin na $\mathbb R^3$.

Úloha 1.3. Zistite, či predpis $\langle\vec\alpha,\vec\beta\rangle=a_1b_1+a_1b_2+a_2b_1+3a_2b_2+a_2b_3+a_3b_2+a_3b_3$ určuje skalárny súčin na $\mathbb R^3$.

Úloha 1.4. Zistite, či predpis $\langle\vec\alpha,\vec\beta\rangle=2a_1b_1-a_1b_2-a_2b_1+a_1b_3-a_3b_1+a_2b_2+a_2b_3+a_3b_2+a_3b_3$ určuje skalárny súčin na $\mathbb R^3$.

Úloha 1.5 Ukážte, že v priestore $C(0,2\pi)$ všetkých spojitých funkcií so skalárnym súčinom
$$\langle f,g \rangle = \int_0^{2\pi} f(t)g(t) \, \mathrm{d}t$$
sú ľubovoľné dva (navzájom rôzne) vektory z množiny $\{1, \cos nx, \sin mx; m,n\in\mathbb N\}$ na seba kolmé.
(Len aby bolo zadanie úplne jasné: Pýtam sa, či sú kolmé $1$ a $\cos nx$; $1$ a $\sin mx$; $\cos nx$ a $\cos mx$; $\cos nx$ a $\sin mx$; $\sin nx$ a $\sin mx$; a to pre ľubovoľné prirodzené čísla $m$, $n$.)
Pre prípad, že pomôžu - tu sú nejaké vzorčeky: viewtopic.php?t=192

Úloha 1.6. Zistite, či predpis $\langle\vec\alpha,\vec\beta\rangle=a_1b_2+a_2b_1+a_1b_3+a_3b_1+a_2b_3+a_3b_2$ určuje skalárny súčin na $\mathbb R^3$.

[Martin Sleziak]

Úloha 2.1. Nájdite bázu a dimenziu $S^\bot$ pre $S=[(1,2,3,1),(1,1,1,1),(1,2,3,2)]$. (Pracujeme v $\mathbb R^4$ so štandardným skalárnym súčinom.)

Úloha 2.2. Nájdite ortonormálnu bázu priestoru $S=[(2,1,1,3),(0,1,-1,1),(1,0,1,1)]$. (Pracujeme v $\mathbb R^4$ so štandardným skalárnym súčinom.)

Úloha 2.3. Nájdite ortonormálnu bázu priestoru $S=[(2,1,1,2),(0,1,1,-1),(1,0,2,2)]$. (Pracujeme v $\mathbb R^4$ so štandardným skalárnym súčinom.)

Úloha 2.4. Nájdite ortonormálnu bázu priestoru $S=[(1,-1,-2,0),(1,0,1,1),(1,1,2,1)]$. (Pracujeme v $\mathbb R^4$ so štandardným skalárnym súčinom.)

Úloha 2.5 Nájdite ortonormálnu bázu priestoru $S=[(1,-1,-2,1),(1,0,-1,2),(1,1,0,3)]$. (Pracujeme v $\mathbb R^4$ so štandardným skalárnym súčinom.)

Úloha 2.6 Nech $V$ je priestor so skalárnym súčinom a $S$ je jeho podpriestor. Dokážte, že $S^\bot=S^{\bot\bot\bot}$. (Zdôrazním, že tu o $V$ nepredpokladáme, že je konečnorozmerný. V konečnorozmernom prípade táto rovnosť ľahko vyplýva z vety, ktorú sme mali na prednáške.)

[Martin Sleziak]

Úloha 3.1. Upravte na diagonálny (prípadne kanonický) tvar a nájdite príslušnú transformáciu premenných. Zapíšte aj maticové rovnosti, ktoré z výsledkov vyplývajú: $x_1x_2+x_2x_3$.

Úloha 3.2. Upravte na diagonálny (prípadne kanonický) tvar a nájdite príslušnú transformáciu premenných. Zapíšte aj maticové rovnosti, ktoré z výsledkov vyplývajú: $x_1^2+2x_1x_2-x_2^2+4x_2x_3$.

Úloha 3.3. Upravte na diagonálny (prípadne kanonický) tvar a nájdite príslušnú transformáciu premenných. Zapíšte aj maticové rovnosti, ktoré z výsledkov vyplývajú: $x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_2x_3$.

Úloha 3.4. Preveďte kvadratickú formu $\sum\limits_{1\le i<k\le n} x_ix_k$ na diagonálny tvar. (Zapíšte aj zodpovedajúcu maticovú rovnosť.)

Úloha 3.5. Nech $A$ je symetrická reálna matica taká, že $D_1>0, D_2>0, \dots, D_n>0$. (Determinanty $D_k$ majú rovnaký význam ako v tvrdení z prednášky). Dokážte, že potom $a_{nn}>0$.

[Martin Sleziak]

Úloha 4.1.Nájdite všetky matice $A$ také, že jediná matica, ktorá je podobná s $A$, je práve matica $A$. (Inak povedané, trieda ekvivalencie matice $A$ je jednoprvková - pre reláciu "podobnosť matíc".)

Úloha 4.2. Máme dané vektory $\vec\alpha_1=(1,0,1)$, $\vec\alpha_2=(1,1,1)$, $\vec\alpha_3=(0,1,-1)$ a $\vec\beta_1=(1,1,3)$, $\vec\beta_2=(-1,0,-3)$, $\vec\beta_3=(0,1,1)$. Skontrolujte, či $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_3$ aj $\vec\beta_1,\dots,\vec\beta_3$ tvoria bázu v $\mathbb R^3$. Nájdite maticu prechodu od bázy $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_3$ k báze $\vec\beta_1,\dots,\vec\beta_3$. Nájdite aj maticu prechodu opačným smerom.

Úloha 4.3. Ukážte, že ak $A$ a $B$ sú podobné, tak majú rovnakú hodnosť, determinant a stopu. (Pripomeňme, že stopa štvorcovej matice $A$ je definovaná ako súčet diagonálnych prvkov: $\operatorname{Tr}(A)=\sum_{i=1}^n a_{ii}$. Hint: Možno sa oplatí dokázať najprv platnosť rovnosti $\operatorname{Tr}(AB)=\operatorname{Tr}(BA)$ pre ľubovoľné matice $A$, $B$ typu $n\times n$.)

Rovnosť determinantov a stôp sme dokázali na prednáške tak, že sme sa odvolávali na koeficienty charakteristického polynómu - vyskúšajte si ale, ako by ste ich vedeli dokázať priamo z definície podobnosti

Úloha 4.4.Pre vektory $\vec\gamma_i\in\mathbb R^3$, $i=1,2,3$, označme ako $\vec{x}_i$ súradnice vektora v báze $\vec\alpha_1,\vec\alpha_2,\vec\alpha_3$ a $\vec{x}'_i$ súradnice toho istého v báze $\vec\alpha'_1,\vec\alpha'_2,\vec\alpha'_3$.
Nájdite matice prechodu od $\vec\alpha_1,\vec\alpha_2,\vec\alpha_3$ k $\vec\alpha'_1,\vec\alpha'_2,\vec\alpha'_3$ ak viete, že
$\vec{x}_1=(1,2,1)$, $\vec{x}_2=(-1,1,1)$, $\vec{x}_3=(-2,1,1)$,
$\vec{x}'_1=(1,-1,1)$, $\vec{x}'_2=(3,1,2)$ a $\vec{x}'_3=(2,1,-2)$.

[Martin Sleziak]

Poznámka: Viaceré úlohy, ktoré sú tu, sú náročnejšie na počítanie. Je pravda, že je veľa dostupných programov, ktoré ich vedia riešiť. Napriek tomu je dobré prerátať zopár príkladov - pomáha to podľa mňa pochopeniu vecí, ktoré sa učíme. (A navyše je to príprava na písomku.) Určite je rozumné skúsiť si niekde prekontrolovať, či sú vaše výpočty správne; ale skúste si to vyrátať aj sami a aj sem pošlite riešenia, kde bude aj postup, nie iba výsledok.

Úloha 5.1. Sú matice
$A = \begin{pmatrix}1&0&...&0&0\\\ 0&2&...&0&0\\\ 0&0&...&n-1&0 \\\ 0&0&...&0&n\end{pmatrix}$ a
$B = \begin{pmatrix}n&0&...&0&0\\\ 0&n-1&...&0&0\\\ 0&0&...&2&0 \\\ 0&0&...&0&1\end{pmatrix}$ podobné? Ak áno, nájdite maticu $P$ takú, že $B=PAP^{-1}$.

Úloha 5.2. Nájdite vlastné hodnoty a vlastné vektory daných matíc nad poľom $\mathbb C$. Ak taká matica existuje, nájdite regulárnu maticu $P$
s vlastnosťou, že $PAP^{-1}$ je diagonálna:
a) $\begin{pmatrix}1&2\\2&-2\end{pmatrix}$; b) $\begin{pmatrix}4&1\\3&2\end{pmatrix}$; c) $\begin{pmatrix}-1&2i\\-2i&2\end{pmatrix}$.

Úloha 5.3. Nájdite vlastné hodnoty a vlastné vektory daných matíc nad poľom $\mathbb C$. Ak taká matica existuje, nájdite regulárnu maticu $P$
s vlastnosťou, že $PAP^{-1}$ je diagonálna:
a) $\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}$; b) $\begin{pmatrix}-1&-1&1\\0&-2&1\\0&0&-1\end{pmatrix}$

Úloha 5.4. Pre dané matice vyrátajte charakteristické polynómy $ch_A(x)$, $ch_B(x)$. Vyrátajte aj stopu a determinant týchto matíc a porovnajte ich s príslušnými koeficientami charakteristického polynómu. Sú tieto matice podobné?
$A=
\begin{pmatrix}
1 & 4 & -2 \\
4 & 1 & -2 \\
-2 & -2 & -2
\end{pmatrix}
$; $B=
\begin{pmatrix}
1 & 5 & -2 \\
2 & 1 & -4 \\
-2 & -4 & -2
\end{pmatrix}
$

Úloha 5.5 Pre dané matice vyrátajte charakteristické polynómy $ch_A(x)$, $ch_B(x)$. Sú dané matice podobné?
$A=
\begin{pmatrix}
1 & 4 & -2 \\
4 & 1 & -2 \\
-2 & -2 & -2
\end{pmatrix}
$; $B=
\begin{pmatrix}
1 & 4 & -2 \\
1 & 1 & -8 \\
-2 & -2 & -2
\end{pmatrix}
$
Vedeli by ste nájsť aj nejaký jednoduchší príklad matíc, ktoré majú rovnaký charakteristický polynóm, ale určite nie sú podobné?

Úloha 5.6 Nech $A$ je štvorcová matica. Ukážte, že $\lambda$ je vlastné číslo matice $A$ práve vtedy, keď $\lambda+a$ je vlastné číslo matice $A+aI$.

[Martin Sleziak]

Úloha 6.1.
Nájdite ortogonálnu maticu $P$ takú, že $PAP^T=D$ je diagonálna matica.
$A=\begin{pmatrix}-1&2&0&0\\2&-1&0&0\\0&0&-1&4\\0&0&4&-1\end{pmatrix}$

Úloha 6.2.
Nájdite ortogonálnu maticu $P$ takú, že $PAP^T=D$ je diagonálna matica.
$A=\begin{pmatrix}2&1&-2\\1&2&-2\\-2&-2&5\end{pmatrix}$

Úloha 6.3. Nech $A$ je nenulová symetrická matica rozmerov $3\times 3$, ktorá má nulovú stopu aj determinant, t.j. $\det(A)=\operatorname{Tr}(A)=0$. Zistite, ako potom vyzerá kanonický tvar príslušnej kvadratickej formy.

[Martin Sleziak]

Úloha 7.1. Nájdite Jordanov normálny tvar danej matice. Nájdite aj maticu prechodu a zapíšte príslušnú maticovú rovnosť.
$\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
-4 & 4 & 0 \\
-2 & 1 & 2
\end{pmatrix}$

Úloha 7.2 Nájdite Jordanov tvar pre maticu
$A=\begin{pmatrix}
3 & 1 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & 0 & 0 \\
2 & 2 & 4 & 2 \\
1 & 1 &-2 & 0 \\
\end{pmatrix}$

[Martin Sleziak]

Počet bodov doteraz:
5 Bednár Martin
4 Zubčák Matúš
1 Tordová Veronika

[Martin Sleziak]

Úloha 8.1. Vyjadriť pomocou základných symetrických polynómov:
$f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2)(x_1+x_3)(x_2+x_3)$.

Úloha 8.2. Vyjadriť pomocou základných symetrických polynómov:
a) $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2$
b) $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^3+x_2^3+x_3^3$

Úloha 8.3.${}^*$
Nájdite (v $\mathbb C$) riešenia sústavy rovníc
$$\begin{align*}
x + y + z &= 4\\
x^2 + y^2 + z^2 &= 4\\
x^3 + y^3 + z^3 &= 4
\end{align*}$$
(Môžu sa vám hodiť nejaké veci, ktoré ste už vyrátali v úlohe 8.2 a Vietove vzťahy.)