$F_{1,2,3}$ nie sú polia$\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}\newcommand{\absl}[1]{\left\lvert#1\right\rvert}\newcommand{\Z}{\mathbb Z}\newcommand{\Q}{\mathbb Q}\newcommand{\R}{\mathbb R}\newcommand{\Lra}{\Leftrightarrow}$
Pripomeniem, že platí takáto vec (nazvime ju lemou - dá sa na to pozerať ako na jednoduché pomocné tvrdenie):
Lema. Ak $a,b\in\Q$ tak platí
\begin{gather*}
a+b\sqrt5=0 \qquad\Lra\quad a=b=0\\
a+b\sqrt5=a'+b'\sqrt5 \qquad\Lra\quad a=a' \land b=b'\\
\end{gather*}
Toto sme odvodili na cvičení. (Robili sme tam takéto niečo pre $\sqrt2$, ale ľahko zistíte, že presne rovnaký argument zafunguje pre $\sqrt5$.)
Zdôvodnenie pre $\sqrt2$ sa dá nájsť tu:
https://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=84
Čakal som, že takéto aspoň spomeniete, ak ho v riešení používate. (Aj keď tým, že sme ho už raz zdôvodnili na cviku, by som bez problémov akceptoval, ak by ste to prehlásili ako fakt bez akéhokoľvek dôkazu.)
S použitím tohoto tvrdenia už ľahko vidíme, že $F_1$, $F_2$ ani $F_3$ nie je pole.
- Máme $2\in F_2$, teda ak by to bolo pole, tak by do $F_2$ muselo patriť aj číslo $\frac12$. Teda by sme mali rovnosť
$$\frac12=a+b\sqrt5$$
pre nejaké $a\in\mathbb Z$ a $b\in\mathbb Q$. Z našej lemy vidíme, že to by znamenalo $a=\frac12$. To je spor s predpokladom, že $a$ je celé číslo.
- Máme $\sqrt5\in F_3$, a teda ak by to bolo pole, tak by sme mali aj $\frac1{\sqrt5}=\frac15\sqrt5\in F_3$, čiže by sme mali
$$\frac15\sqrt5=a+b\sqrt5,$$
pričom $a\in\Q$, $b\in\Z$. Z toho dostaneme $b=\frac15$, čo je spor.
Pre $F_1$ vieme presne rovnakým spôsobom skontrolovať, že $F_1$ neobsahuje ani $\frac12$ ani $\frac1{\sqrt5}$.
Iné možné riešenie pre $F_2$ aj $F_3$ je ukázať, že tieto množiny nie sú uzavreté na súčin. (Takýto prístup ste niektorí z vás zvolili.)
Komentáre k niektorým riešeniam
V úlohe o $F_1$ som našiel takýto argument:
Ak $\abs{a+b\sqrt5}>1$ vtedy $$\absl{\frac1{a+b\sqrt5}}.$$
Máme $\abs{\inv{(a+b\sqrt5)}}<1$, čo znamená, že $\inv{(a+b\sqrt5)}\notin\Z$. Teda $F_1$ nie je pole.
Toto nie je správny argument. Nejako ste zdôvodnili, že číslo $\frac1{a+b\sqrt5}$ nepatrí do $\Z$. Vy však potrebujete nejako zdôvodniť, že nepatrí do $F_1$. Teda vlastne sa pýtate, či sa dá vyjadriť v tvare $$\frac1{a+b\sqrt5}=c+d\sqrt5$$ pre nejaké celé čísla $c$, $d$.
Fakt, že toto číslo je v absolútnej hodnote menšie ako $1$, ešte nestačí na zdôvodnenie, že ho nevieme takto vyjadriť. V $F_2$ máme veľa čísel, ktoré majú absolútnu hodnotu.
Napríkad z nerovnosti $2<\sqrt 5<3$ hneď vidíme, že $$0<-2+\sqrt5<1,$$
teda $x=-2+\sqrt5$ je príklad čísla, ktoré súčasne spĺňa $x\in F_1$ aj $\abs x<1$.
Viacerí ste overovali niektoré vlastnosti poľa. To nebolo treba do riešenia písať.
Ak tvrdíte, že to nie je pole, tak stačilo napísať vlastnosť, ktorá neplatí - a zdôvodniť, že naozaj neplatí.
(Aj keď rozumiem, že možno niektorí ste začali postupne prechádzať vlastnosti poľa - s tým, že buď sa vám podarí všetky overiť, alebo narazíte na nejakú, ktorá neplatí.)