(a) Find the degrees of all the irreducible characters of $G$.
(b) Show that $|G'|=p$.
(c) Show that $q$ divides $p-1$ and that $G$ has $q+((p-1)/q)$ conjugacy classes.
Stupne ireducibilných charakterov musia deliť $pq$, čo nám dáva možnosti $1$, $q$, $p$ a $pq$. Možnosti $p$ a $pq$ sú príliš veľké, keďže $p^2>pq$, takže zostávajú nám iba $1$ a $q$.
Chceme teda dostať
$$pq=a\times 1^2+b\times q^2$$
pričom $a\mid pq$.
- Možnosť $a=pq$, $b=0$ dáva komutatívnu grupu, čo je prípad, ktorý je vylúčený v zadaní.
- Ak by sme zvolili $a=1$ alebo $a=p$, tak ľavá strana v uvedenej rovnosti je násobok $q$, zatiaľčo pravá straná deliteľná číslom $q$ nie je.
- Zostáva nám jediná možnosť $a=q$.
Zistili sme, že počet charakterov je $q+\frac{p-1}q$ a počet lineárnych charakterov je $q$. To znamená, že $q=|G|/|G'|$ a $|G'|=pq/q=p$.
***************
Môžeme si všimnúť, že ako špeciálny prípad dostaneme tvrdenie z Exercise 22.1, že 15-prvková grupa musí byť komutatívna.
Keď som sa skúsil opýtať Googlu na group pq abelian, tak medzi prvými odkazmi, ktoré našiel, je tento blog post, kde Alex Youcis (drexel28), kde je okrem dôkazu cez reprezentácie aj grupovo-teoretický dôkaz založený na Sylowových vetách.
V jednej z odpovedí v Group of order 15 is abelian na MSE sa spomína článok Jonathan Pakianathan and Krishnan Shankar: Nilpotent Numbers, The American Mathematical Monthly, Vol. 107, No. 7 (Aug. - Sep., 2000), pp. 631-634, jstor, link, preprint; sú v ňom charakterizované čísla $n$ s vlastnosťou, že každá $n$-prvková grupa je cyklická/abelovská/nilpotentná. V tomto cvičení sme ukázali, že čísla tvaru $pq$, kde $q\nmid p-1$ patria do abelovského prípadu.