Determinant s polynómami

[Martin Sleziak]

Skupina A

Nájdite aspoň štyri rôzne štvorice reálnych čísel $(a,b,c,d)$, pre ktoré sa daný determinant rovná nule. (Uveďte aj zdôvodnenie, prečo je skutočne nulový.)
$$D(a,b,c,d)=\det
\begin{pmatrix}
a^2 & a(a+1) & (a+1)^2 & a^2+1 \\
b^2 & b(b+1) & (b+1)^2 & b^2+1 \\
c^2 & c(c+1) & (c+1)^2 & c^2+1 \\
d^2 & d(d+1) & (d+1)^2 & d^2+1 \\
\end{pmatrix}
$$

Skupina B

Nájdite aspoň štyri rôzne štvorice reálnych čísel $(a,b,c,d)$, pre ktoré sa daný determinant rovná nule. (Uveďte aj zdôvodnenie, prečo je skutočne nulový.)
$$D(a,b,c,d)=\det
\begin{pmatrix}
a^2 & a(a+1) & (a+1)^2 & a^2-1 \\
b^2 & b(b+1) & (b+1)^2 & b^2-1 \\
c^2 & c(c+1) & (c+1)^2 & c^2-1 \\
d^2 & d(d+1) & (d+1)^2 & d^2-1 \\
\end{pmatrix}
$$

Pôvodne som zadanie chcel dať také, že máte ukázať, že vždy platí $D(a,b,c,d)=0$.

Nejako som trochu váhal, že či tým nevyrobím príliš zložitý príklad. Tak som namiesto toho zmenil to, že nájsť viacero štvoríc. (S tým úmyslom, že ak sa niekomu nebude dariť vyriešiť všeobecný príklad, tak môže vyskúšať nejaké konkrétne hodnoty.)
A prehliadol som, že som takto vyrobil veľmi jednoduchý príklad.

Pri takomto zadaní aké som vám dal dostaneme $D(a,b,c,d)=0$ vždy, ak $a=b$. (Sú potom rovnaké prvé dva riadky.)
Podobne ak si zvolím niektoré iné dve premenné ako rovnaké.
Čiže pomerne ľahko dostaneme nekonečne veľa štvoríc, pre ktoré $D(a,b,c,d)=0$.

Aj ak ste zvládli takúto úlohu (o dosť jednoduchšiu než som pôvodne zamýšľal), stále sa môže oplatiť skúsiť porozmýšľať, či by ste vedeli:

• Nejako ukázať, že vždy platí $D(a,b,c,d)=0$.
• Skúsiť túto úlohu o čosi zovšeobecniť tak, aby zahŕňala ako špeciálne prípady tieto dva determinanty.

K obom veciam som napísal nejaké veci nižšie - naschvál som tam pomerne veľa používal spoilery, ak sa nad nimi chcete zamyslieť samostatne, tak si ich môžete odkrývať postupne.

[Martin Sleziak]

Ako môžem ukázať, že vždy platí $D(a,b,c,d)=0$

Všeobecnejšie tvrdenie, ktoré je napísané na konci, dáva asi o čosi jednoduchšie riešenie.
Môžeme sa skúsiť ale pozrieť aj na to, či nepomôžu nejaké riadkové resp. stĺpcové operácie.
Dá sa vymyslieť veľa rôznych postupov, jeden je uvedený tu:

Spoiler:

$D(a,b,c,d)=
\begin{vmatrix}
a^2 & a(a+1) & (a+1)^2 & a^2+1 \\
b^2 & b(b+1) & (b+1)^2 & b^2+1 \\
c^2 & c(c+1) & (c+1)^2 & c^2+1 \\
d^2 & d(d+1) & (d+1)^2 & d^2+1 \\
\end{vmatrix}\overset{(1)}=$ $
\begin{vmatrix}
a^2 & a^2+a & a^2+2a+1 & a^2+1 \\
b^2 & b^2+b & b^2+2b+1 & b^2+1 \\
c^2 & c^2+c & c^2+2c+1 & c^2+1 \\
d^2 & d^2+d & d^2+2d+1 & d^2+1 \\
\end{vmatrix}\overset{(2)}=$ $
\begin{vmatrix}
a^2 & a & 2a+1 & 1 \\
b^2 & b & 2b+1 & 1 \\
c^2 & c & 2c+1 & 1 \\
d^2 & d & 2d+1 & 1 \\
\end{vmatrix}\overset{(3)}=$ $
\begin{vmatrix}
a^2 & a & 1 & 1 \\
b^2 & b & 1 & 1 \\
c^2 & c & 1 & 1 \\
d^2 & d & 1 & 1 \\
\end{vmatrix}\overset{(4)}=$ $
\begin{vmatrix}
a^2 & a & 1 & 0 \\
b^2 & b & 1 & 0 \\
c^2 & c & 1 & 0 \\
d^2 & d & 1 & 0 \\
\end{vmatrix}=0
$

Použité úpravy (žiadna z nich nemení determinant):
$(1)$ Iba úprava výrazov vystupujúcich v determinante.
$(2)$ Prvý stĺpec som odpočítal od ostatných.
$(3)$ Odpočítal som od tretieho stĺpca dvojnásobok druhého.
$(4)$ Od štvrtého stĺpca sme odpočítali tretí.

Keďže sme dostali nulový stĺpec, determinant je rovný nule. (To isté som vedel povedať už vtedy, keď som tam videl, že niektorý stĺpec mám dvakrát alebo že niektoré stĺpce sú lineárne závislé.)

[Martin Sleziak]

Dá sa to o čosi zovšeobecniť?

Vlastne bol zadaný determinant tvaru
$$D(a,b,c,d)=
\begin{vmatrix}
f_1(a) & f_2(a) & f_3(a) & f_4(a) \\
f_1(b) & f_2(b) & f_3(b) & f_4(b) \\
f_1(c) & f_2(c) & f_3(c) & f_4(c) \\
f_1(d) & f_2(d) & f_3(d) & f_4(d) \\
\end{vmatrix}
$$
pričom všetky štyri funkcie $f_1,\dots,f_4$ boli polynómy stupňa nanajvýš $2$.

Pre hocijaké takéto vyjde $D(a,b,c,d)=0$.

Keď som teda prezradil, akým spôsobom sa dá úloha zovšeobecniť, tak možno to môže pomôcť vymyslieť nejaké zdôvodnenie.

Tu pridám nejaký hint, ktorý by mohol viesť k riešeniu:

Spoiler:

Hint 1: Viem nejako ukázať, že stĺpce sú lineárne závislé?

Tu je o čosi detailnejší hint.

Spoiler:

Hint 2: Pracujem so štyrmi stĺpcami - t.j. so štyrmi vektormi. Vedel by som nájsť nejaký podpriestor v $\mathbb R^4$, ktorý má dimenziu $3$ a bude obsahovať všetky štyri vektory?

A tu už je celé riešenie:

Spoiler:

V každom zo stĺpcov mám vektor tvaru $(f(a),f(b),f(c),f(d))$ pre nejaký polynóm stupňa najviac $2$.
T.j. funkcia $f$ je tvaru $f(x)=c_2x^2+c_1x+c_0$.
Z toho vidím, že tento vektor sa dá napísať ako $$(f(a),f(b),f(c),f(d))=c_2(a^2,b^2,c^2,d^2)+c_1(a,b,c,d)+c_0(1,1,1,1).$$
Teda všetky štyri stĺpce ležia v podpriestore $[(a^2,b^2,c^2,d^2),(a,b,c,d),(1,1,1,1)]$.

Mám štyri vektory ležiace v podpriestore dimenzie $3$. Potom sú tieto vektory určite lineárne závislé.

Naša matica má lineárne závislé stĺpce - a teda determinant je nulový.

Asi keď ste si prešli takéto riešenie, tak by malo byť jasné, aké polynómy by sme mohli využiť pre podobné tvrdenie o maticiach rozmerov $n\times n$. (Teda ako by sa v takom prípade zmenilo obmedzenie na stupeň polynómu.)