Úloha 3.3.9 - riešenie

[Nadiya Balanchuk]

Zadanie: Ak $A$ a $B$ sú normálne podgrupy $G$, $a \in A$ a $b \in B$, tak $aba^{-1}b^{−1} \in A \cap B$.

Riešenie: Keďže $B$ je normálna podgrupa grupy $G$, tak z definície normálnej podgrupy platí, že $xBx^{-1} = B$, pre všetky $x \in G$. Keďže $A \subseteq G$, tak pre všetky $a' \in A$ platí $a'Ba'^{-1} = B$ $(1)$.
$aBa^{-1} = \{ab'a^{-1}, b' \in B\} \rightarrow aba^{-1} \in aBa^{-1} \overset{(1)}{\rightarrow} aba^{-1} \in B \overset{bin. operacia}{\rightarrow} aba^{-1}b^{-1} \in B$.

Keďže $A$ je normálna podgrupa grupy $G$, tak z definície normálnej podgrupy platí, že $xAx^{-1} = A$, pre všetky $x \in G$. Keďže $B \subseteq G$, tak pre všetky $b' \in B$ platí $b'Ab'^{-1} = A$ $(2)$.
$bA = \{ba', a' \in A\} = \{ba'^{-1}, a'^{-1} \in A\} \rightarrow bAb^{-1} = \{ba'^{-1}b^{-1}, a'^{-1} \in A\} \rightarrow ba^{-1}b^{-1} \in bAb^{-1} \overset{(2)}{\rightarrow} ba^{-1}b^{-1} \in A \overset{bin. operacia}{\rightarrow} aba^{-1}b^{-1} \in A$.

$aba^{-1}b^{-1} \in A$ a $aba^{-1}b^{-1} \in B \rightarrow aba^{-1}b^{-1} \in A \cap B$.

[Martin Sleziak]

$bA = \{ba', a' \in A\} = \{ba'^{-1}, a'^{-1} \in A\} \rightarrow bAb^{-1} = \{ba'^{-1}b^{-1}, a'^{-1} \in A\} \rightarrow ba^{-1}b^{-1} \in bAb^{-1}$

O čosi priamočiarejšie (a zrozumiteľnejšie) by sa mi zdalo povedať, že $a^{-1}\in A$ a teda $ba^{-1}b^{-1}\in bAb^{-1}$.
Ale okrem toho, že riešenie dalo napísať asi o čosi jednoduchšie, nemám výhrady. Značím si 1 bod.

Nejako sa (zhodou okolností) stalo, že ste poslali dvaja ľudia riešenie tej istej úlohy takmer naraz.
Riešenia sú rôzne, bodovo som ohodnotil obe.