Úloha 3.2.5. - Dokážte, že každá grupa, ktorá má menej ako 6 prvkov, je komutatívna.

[TiborCernak]

Úloha 3.2.5. Dokážte, že každá grupa, ktorá má menej ako $6$ prvkov, je komutatívna.

Pred dokazovaním úlohy si dokážeme následujúcu vetu ktorá sa nám ďalej zíde:

Každá cyklická grupa je komutatívna

Dôkaz:
Nech cyklická grupa $G$ je generovaná prvkom $g$.
Majme prvky $a = g^{m}$ a $b = g^{n}$ z $G$.
Potom $ab = g^{m}g^{n} = g^{m+n} = g^{n+m} = g^{n}g^{m} = ba$.
Ukázali sme že $ab = ba$ a teda je komutatívna.


Dôkaz úlohy:

Ak $|G|$ = 1, potom $G = \left\{e \right\}$ a teda G je komutatívna.

Ak $|G|$ = 2,3 alebo 5 a každá grupa s prvočíselným rádom je cyklická a ukázali sme že každá cyklická grupa je komutatívna.

Ak $|G|$ = 4, dostávame 2 prípady:
Prípad 1: G má prvok rádu 4, potom $G = \left\{e, x, x^{2}, x^{3}\right\}$ a z toho dostávame že G je cyklická a teda komutatívna.

Prípad 2: G nemá prvok rádu 4 a vieme že rád ľubovoľného prvku v G musí deliť rád grupy G a teda dostávame možnosti 1,2 a 4 ale 4 sme už ukázali.
Potom každý prvok v G má rád 1 alebo 2 a pre $\forall g \in G$ platí $x^{2} = e$, teda že každý prvok je sám sebe inverzný. Teda $\forall x,y \in G \; xy = (xy)^{-1} = y^{-1}x^{-1} = yx$

[Martin Sleziak]

Prípad 1: G má prvok rádu 4, potom $G = \left\{e, x, x^{2}, x^{3}\right\}$ a z toho dostávame že G je cyklická a teda komutatívna.

Inak povedané, ak $|G|=4$ a v G je nejaký prvok rádu 4, tak G je cyklická. (Resp. všeobecne, ak máme prvok takého rádu, ako je počet prvkov celej grupy.)
Poznamenám, že dôkaz o tom, že každá štvorprvková grupa je izomorfná buď so $\mathbb Z_4$ alebo so $\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2$ je aj v texte. (Aj keď na prednáške som ho nerobil.)

K riešeniu nemám výhrady - značím si 1 bod.

Pridám aj nejaké linky:

• Prove that every group of order $4$ is abelian
• How do I prove that a non-abelian group would have at least $6$ elements?