Úloha 2.5.2. - rád, parita a rozklad na disjunktné cykly permutácie

[Terezia Gurova]

Úloha 2.5.2. Pre dané permutácie určte rád, paritu, a rozklad na disjunktné cykly:
$ \varphi =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
2 & 3 & 4 & 5 & 1
\end{pmatrix} $
$ \tau =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
2 & 1 & 4 & 5 & 3
\end{pmatrix} $
$ \psi =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
3 & 2 & 1 & 5 & 4
\end{pmatrix} $

Najprv si určíme rozklad na disjunktné cykly a následne pomocou nich zistíme rád a paritu permutácie. Rozklad na disjunktné cykly:
$ \varphi = (1 2 3 4 5), \,
\tau = (1 2)(3 4 5), \,
\psi = (1 3) (4 5) $

Teraz už vieme jednoducho určiť rád aj paritu týchto permutácií.
Rád permutácie je najmenší spoločný násobok dĺžok disjunktných cyklov, ktoré vystupujú v jej rozklade. Rád permutácie $\varphi$ je $5$, rád permutácie $\tau$ je $nsn(2,3)=6$, rád permutácie $\psi$ je $2$.
Parita permutácie je rovná parite počtu inverzií danej permutácie. Tú vieme zistiť podľa počtu transpozícii - dvojprvkových cyklov. Ideme si teraz rozložiť naše permutácie na zloženie transpozícií:
$ \varphi = (1 5) (1 4) (1 3) (1 2), \,
\tau = (1 2)(3 5)(3 4), \,
\psi = (1 3) (4 5) $
Z tohto vidíme, že permutácie $\varphi$ a $\psi$ sú párne a permutácia $\tau$ je nepárna.

[Martin Sleziak]

Riešenie je fajn, značím si 1 bod.