Úloha 4.2.19

[Michal Svec]

Zistite, s akými okruhmi sú izomorfné okruhy $\mathbb{Z}_{60}/(15)$, $\mathbb{Z}_{60}/(20)$, $\mathbb{Z}_{60}/(12)$.

$(15)$ je hlavný ideal, ktorý vypadá takto $\{15z \text{; } z\in\mathbb{Z}_{60} \} = \{0, 15, 30, 45\}$.
Môžeme použiť vetu o izomorfizme pre faktorové okruhy. Potrebujeme nájsť homomorfizmus z množiny $\mathbb{Z}_{60}$ do nejakej množiny, taký že ideál $(15)$ bude jadro nášho zobrazenia. Z množiny $(15) = \{0, 15, 30, 45\}$ ľahko vidno, že taký homomorfizmus by mohol byť $f(x) = x \text{ mod } 15$.
Je to naozaj okruhový homomorfizmus, platí:
$f(x+y) = (x+y) \text{ mod } 15 = (x \text{ mod } 15) + (y \text { mod } 15) = f(x) + f(y)$
$f(xy) = (xy) \text{ mod } 15 = (x \text{ mod } 15)(y \text { mod } 15) = f(x)f(y)$

Zvyšok po delení $15$ môže byť $\{0, ..., 14\} = \mathbb{Z}_{15}$. Homomorfizmus je zjavne aj surjektívny, pretože vieme dostať každý zvyšok.
Teda z vety o izomorfizme vyplýva, že $\mathbb{Z}_{60}/(15) \cong \mathbb{Z}_{15}$.

Pracujeme s konečnými množinami, teda by sme si mohli vypísať faktorový okruh do tabuliek, ale bolo by to zdĺhavejšie riešienie. Analogicky vieme vyriešiť aj zvyšné dva faktorové okruhy.

[Martin Sleziak]

Riešenie je v poriadku - značím si 1 bod.

Oplatí sa všimnúť si, že čísla v zadaní sú delitele 60-ky.
Ak by sme sa napríklad pozerali na hlavný ideál v $\mathbb Z_{60}$ generovaný číslom 21, zistili by sme , že $(21)=(3)$.