Prednášky ZS 2013/14

[Martin Sleziak]

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorý z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

[Martin Sleziak]

1. prednáška (24.9.)
Binárne operácie. Definícia a príklady. Neutrálny prvok (ľavý a pravý neutrálny prvok), komutatívnosť, asociatívnosť, inverzný prvok.
(Nerobili sme zovšeobecnený asociatívny zákon, ktorý hovorí o tom, že pre asociatívnu operáciu nezáleží na uzátvorkovaní ani pre viac ako 3 prvky. Ak si niekto chce pozrieť dôkaz, nejaký je napísaný v texte. Každopádne by ste si to mohli skúsiť rozmyslieť aspoň pre 4 prvky. Je to vyriešené aj v texte, takže si tam môžete svoje riešenie skontrolovať.)
Grupy. Zatiaľ sme iba zadefinovali grupu a komutatívnu grupu a dokázali zákony o krátení.

[Martin Sleziak]

1. cvičenie (27.9.):
Prvé cvičenie bolo v skutočnosti prednáškou (budúce cvičenie už bude štandardné.)
Zobrazenia. Definícia zobrazenia, skladanie zobrazené, asociatívnosť skladania zobrazení. Injekcie, surjekcie, bijekcie - definícia, zloženie. Definícia inverzného zobrazenia. Zobrazenie je bijektívne práve vtedy, keď k nemu existuje inverzné zobrazenie.
(Dôkaz toho, že $(f^{-1})^{-1}=f$ a $(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$ som stihol len s jednou skupinou a len veľmi narýchlo. Toto nechám na rozmyslenie pre vás ako domácu úlohu - alebo si môžete dôkaz pozrieť v poznámkach. Niečo veľmi podobné budeme robiť na prednáške v grupách pri inverznom prvku; tam to budeme robiť trochu inak.)

[Martin Sleziak]

1.10. - prednáška odpadla (imatrikulácia)

2. prednáška (8.10.):
Grupy. Ukázali sme, že $(a^{-1})^{-1}=a$ a $(a*b)^{-1}=(b^{-1}*a^{-1})$.
Polia. Definícia poľa. Základné vlastnosti a príklady polí. Pre každé prvočíslo je $(\mathbb Z_p,\oplus,\odot)$ pole. Zadefinovali sme $n\times a$ a $a^n$, kde $n$ je prirodzené (celé) číslo a $a$ je prvok poľa.

[Martin Sleziak]

3. prednáška (15.10.):
Vektorové priestory. Zadefinovali sme vektorový priestor. Ukázali sme si konkrétne príklady: vektory v rovine, $\mathbb R^n$, $\mathbb R^{\mathbb R}$. (Resp. všeobecnejšie - pre ľubovoľnú neprázdnu množinu $M$ a ľubovoľné pole $F$ dostaneme vektorové priestory $F^n$ a $F^M$.)
Podpriestory. Definícia a jednoduché príklady. Kritérium vektorového podpriestoru. Prienik dvoch podpriestorov je opäť podpriestor.

[Martin Sleziak]

4. prednáška (22.10.):
Podpriestory. Ukázali sme, že prienik ľubovoľného systému podpriestorov je opäť podpriestor.
Lineárna kombinácia. Definícia lineárnej kombinácie, lineárny obal. Lineárny obal je podpriestor. Ak $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n\in S$, tak $[\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n]\subseteq S$. (Teda lineárny obal je najmenší podpriestor obsahujúci $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$.)
Lineárna nezávislosť. Definícia lineárnej závislosti a nezávislosti. Príklady. Lineárna závislosť pre jeden resp. dva vektory. Vektory sú lineárne závislé práve vtedy, keď jeden z nich je lineárnou kombináciou ostatných.

[Martin Sleziak]

5. prednáška (29.10.):
Lineárna nezávislosť. Vektory sú lineárne závislé práve vtedy, keď jeden z nich je lineárnou kombináciou predchádzajúcich. Steinitzova veta o výmene.
Báza a dimenzia. Definícia konečnorozmerného priestoru, definícia bázy. Ľubovoľné dve bázy majú rovnaký počet prvkov, každý konečnorozmerný priestor (okrem $V=\{\vec0\}$) má bázu. Dimenzia vektorového priestoru.
Aby sme videli aspoň jeden príklad nekonečnorozmerného priestoru, tak sme si ukázali, že priestor $\mathbb R^{\mathbb R}$ nie je konečnorozmerný.

[Martin Sleziak]

6. prednáška (6.11)
Báza dimenzia. Ekvivalentné podmienky, kedy vektory tvoria bázu. Vzťah dimenzie priestoru a podpriestoru.
Lineárne a direktné súčty podpriestorov. Táto časť zostala na samostatné naštudovanie.
Matice. Zadefinovali sme matice, súčet matíc, jednotkovú maticu.
Riadková ekvivalencia matíc. Zadefinovali sme elementárne riadkové operácie a riadkovú ekvivalenciu matíc. Ukázali sme si, že riadkové operácie nemenia podpriestor prislúchajúci matici.

[Martin Sleziak]

7. prednáška (12.11.):
Riadková ekvivalencia a redukovaná trojuholníková matica. Zadefinovali sme RTM a ukázali sme si, že každá matica sa dá upraviť na redukovaný trojuholníkový tvar. Zadefinovali sme hodnosť, povedali sme si, ako ju vieme zistiť pre RTM a tiež to, ak pre RTM vieme zistiť, či zadaný vektor patrí do $V_A$. Dokázali sme ešte: Pre redukované trojuholníkové matice rovnakých rozmerov platí $V_A=V_B$ práve vtedy, keď $A=B$. Z toho sme ako dôsledok dostali ekvivalentné podmienky pre riadkovú ekvivalenciu matíc.

Odporúčam si samostatne pozrieť:
* Príklad 5.2.16, ktorý ilustruje na konkrétnom príklade jeden z krokov dôkazu vety 5.2.15. (Hlavne v prípade, že ten dôkaz bol nejasný.)
* Poznámku 5.2.18, z ktorej vidno, že veci ktoré sme sa naučili, možno využiť aspoň na čiastočnú skúšku správnosti pri úprave na RTM. (Ale o tomto budeme hovoriť i na cviku.)
* Poznámka 5.2.19 upozorňuje na istú nepresnosť, ktorej sa študenti často dopúšťajú a neskôr môže spôsobovať problémy pri využití elementárnych riadkových operácií na výpočet determinantov. (Snáď aj toto stihnem spomenúť na cviku.)

[Martin Sleziak]

8. prednáška (19.11.):
Lineárne zobrazenia. Definícia, príklady, ekvivalentné podmienky. Lineárne zobrazenie je jednoznačne určené obrazmi bázových vektorov. Matica lineárneho zobrazenia. Zloženie lineárnych zobrazení je lineárne zobrazenie.
Súčin matíc. Definícia súčin matíc a súvis so skladaním lineárnych zobrazení.
(V texte je aj vyriešený príklad na nájdenie matice lineárneho zobrazenia - úloha 5.3.1. Na prednáške sme taký príklad nerobili, budeme takéto niečo robiť na cvičení.)