V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)
Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)
Informácie o skúške nájdete tu.
Prednášky ZS 2022/23 - algebra
Moderators: Martin Sleziak, TomasRusin, Veronika Lackova, Nina Hronkovičová, bpokorna, davidwilsch, jaroslav.gurican, makovnik
-
jaroslav.gurican
- Posts: 229
- Joined: Fri Aug 31, 2012 4:34 pm
Re: Prednášky ZS 2022/23 - algebra
1. prednáška (20.9.)
Binárne operácie. Definícia a príklady. Neutrálny prvok (ľavý a pravý neutrálny prvok, jednoznačnosť- vo forme rovnosti ľavého a pravého neutrálneho prvku pre BO na množine $A$, komutatívnosť, asociatívnosť, inverzný prvok (jednoznačnosť pre asociatívne operácie - vo forme rovnosti ľavého a pravého inv. prvku pre dané $a\in A$, ak oba existujú).
Zovšeobecnený asociatívny zákon, ktorý hovorí o tom, že pre asociatívnu operáciu nezáleží na uzátvorkovaní aj pre viac ako 3 prvky sme spomínali, nerobili sme žiadny dôkaz - ak si niekto chce pozrieť dôkaz, nejaký je napísaný v texte. Len chcem, aby ste rozumeli, o čo tam ide, budeme to bežne používať bez nejakých ďalších "komentárov" aj v priebehu ďalších prednášok. Každopádne by ste si to mohli skúsiť rozmyslieť aspoň pre 4 prvky. Je to vyriešené aj v texte, takže si tam môžete svoje riešenie skontrolovať.
Binárne operácie. Definícia a príklady. Neutrálny prvok (ľavý a pravý neutrálny prvok, jednoznačnosť- vo forme rovnosti ľavého a pravého neutrálneho prvku pre BO na množine $A$, komutatívnosť, asociatívnosť, inverzný prvok (jednoznačnosť pre asociatívne operácie - vo forme rovnosti ľavého a pravého inv. prvku pre dané $a\in A$, ak oba existujú).
Zovšeobecnený asociatívny zákon, ktorý hovorí o tom, že pre asociatívnu operáciu nezáleží na uzátvorkovaní aj pre viac ako 3 prvky sme spomínali, nerobili sme žiadny dôkaz - ak si niekto chce pozrieť dôkaz, nejaký je napísaný v texte. Len chcem, aby ste rozumeli, o čo tam ide, budeme to bežne používať bez nejakých ďalších "komentárov" aj v priebehu ďalších prednášok. Každopádne by ste si to mohli skúsiť rozmyslieť aspoň pre 4 prvky. Je to vyriešené aj v texte, takže si tam môžete svoje riešenie skontrolovať.
-
jaroslav.gurican
- Posts: 229
- Joined: Fri Aug 31, 2012 4:34 pm
Re: Prednášky ZS 2022/23 - algebra
2. prednáška (27.9.)
Kompozícia zobrazení (aj ako binárna operácia na množine $A^A=\{f; f\colon A\to A\}$). Identita $id_A\colon A\to A$. Ľavé a pravé inverzné zobrazenia, injektívne a surjektívne zobrazenia (len úplne základné informácie, hovoriť sa tom bude aj na cvičeniach, množno sa už hovorilo).
Grupy. Definícia grupy a viaceré príklady. (Nemali sme zatiaľ nijaký príklad nekomutatívnej grupy - budete také príklady vidieť na cvičeniach.)
Dokázali sme základné vlastnosti grúp: zákony o krátení, $(a^{-1})^{-1}=a$, $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$.
Kompozícia zobrazení (aj ako binárna operácia na množine $A^A=\{f; f\colon A\to A\}$). Identita $id_A\colon A\to A$. Ľavé a pravé inverzné zobrazenia, injektívne a surjektívne zobrazenia (len úplne základné informácie, hovoriť sa tom bude aj na cvičeniach, množno sa už hovorilo).
Grupy. Definícia grupy a viaceré príklady. (Nemali sme zatiaľ nijaký príklad nekomutatívnej grupy - budete také príklady vidieť na cvičeniach.)
Dokázali sme základné vlastnosti grúp: zákony o krátení, $(a^{-1})^{-1}=a$, $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$.
-
jaroslav.gurican
- Posts: 229
- Joined: Fri Aug 31, 2012 4:34 pm
Re: Prednášky ZS 2022/23 - algebra
3. prednáška (4.10.)
Pre grupy sme ešte definovali komutatívne grupy.
Polia.
Definovali sme polia, uviedli najjednoduchšie príklady, dokázali sme základné vlastnosti polí. Hovorili sme o alternatívnej definícii (definícia 3.3.3 v skriptách, ale nerobili sme dôkaz ekvivalencie.)
Spravili sme dôkaz, že ak je $n$ prvočíslo, je $(\mathbb Z_n,\oplus,\odot)$. Chvíľu sme sa rozprávali o počítaní v takomto poli, najmä o hľadaní inverzného prvku.
Spomenul som, že pre väčšie prvočíslo $n$ je na hľadanie inverzného prvku vhodný rozšírený Euklidov algoritmus, viď napr. tu, ktorý sa dá použiť na dosť rýchly výpočet. Tento algoritmus budeme spomínať v trochu všeobecnejšom kontexte aj v Algebre 3 (tá je ale nepovinná). Nejaké odkazy sú aj tu: http://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=298. Ukážka konkrétneho výpočtu: http://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=1346
Nehovorili sme o $n\times a$ a $a^n$ (definícia 3.3.12 a príklad 3.3.13), bolo by fajn, keby ste si to pozreli. Zopakujeme si to v momente, keď to budeme niekde potrebovať.
Vektorové priestory. Zadefinovali sme vektorový priestor.
Hovoril som, že po tejto prednáške vystavím prvú sadu domácich úloh, nájdete ju na tejto linke DU1 (je to linka na subor du01.pdf na stránke http://thales.doa.fmph.uniba.sk/katc/pa ... en=gurican) v sekcii určenej pre predmet Algebra pre informatikov, 1. semester). V súbore sú všetky inštrukcie, ktoré súvisia s odovdzdávaním DÚ.
Pre grupy sme ešte definovali komutatívne grupy.
Polia.
Definovali sme polia, uviedli najjednoduchšie príklady, dokázali sme základné vlastnosti polí. Hovorili sme o alternatívnej definícii (definícia 3.3.3 v skriptách, ale nerobili sme dôkaz ekvivalencie.)
Spravili sme dôkaz, že ak je $n$ prvočíslo, je $(\mathbb Z_n,\oplus,\odot)$. Chvíľu sme sa rozprávali o počítaní v takomto poli, najmä o hľadaní inverzného prvku.
Spomenul som, že pre väčšie prvočíslo $n$ je na hľadanie inverzného prvku vhodný rozšírený Euklidov algoritmus, viď napr. tu, ktorý sa dá použiť na dosť rýchly výpočet. Tento algoritmus budeme spomínať v trochu všeobecnejšom kontexte aj v Algebre 3 (tá je ale nepovinná). Nejaké odkazy sú aj tu: http://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=298. Ukážka konkrétneho výpočtu: http://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=1346
Nehovorili sme o $n\times a$ a $a^n$ (definícia 3.3.12 a príklad 3.3.13), bolo by fajn, keby ste si to pozreli. Zopakujeme si to v momente, keď to budeme niekde potrebovať.
Vektorové priestory. Zadefinovali sme vektorový priestor.
Hovoril som, že po tejto prednáške vystavím prvú sadu domácich úloh, nájdete ju na tejto linke DU1 (je to linka na subor du01.pdf na stránke http://thales.doa.fmph.uniba.sk/katc/pa ... en=gurican) v sekcii určenej pre predmet Algebra pre informatikov, 1. semester). V súbore sú všetky inštrukcie, ktoré súvisia s odovdzdávaním DÚ.
-
jaroslav.gurican
- Posts: 229
- Joined: Fri Aug 31, 2012 4:34 pm
Re: Prednášky ZS 2022/23 - algebra
4. prednáška (11.10.)
Vektorové priestory. $F^n$ nad $F$, $F^M$ nad $F$, $F^{\{1,2,3\}}$ nad $F$, $\mathbb R^{\mathbb R}$ nad $\mathbb R$, $\mathbb R$ nad $\mathbb Q$, $\mathbb C$ nad $\mathbb R$, $\mathbb C$ nad $\mathbb Q$ ako príklady vektorového priestoru. Veta o základných vlastnostiach počítania vo vektorových priestoroch ($0\cdot \vec\alpha=\vec0,...$, veta 4.1.6, dúfam.)
Podpriestory. Definícia a niekoľko príkladov. Kritérium vektorového podpriestoru. Lema 4.3.5 (tu som trochu "predbehol" skriptá, dôkaz som nerobil, máte si ho pozrieť sami - je to zovšeobecnenie jednej z implikácií z "kritéria podpriestoru")
Prienik dvoch podpriestorov je opäť podpriestor. Dôkaz som robil, ale nechal som v nom jednu "dieru". Schválne, či si to niekto všimol a upozorní má na to (doplniť to bude veľmi ľahké, len ma zaujíma, ako ste všímaví).
Máte zadania novej domácej úlohy. Tu je linka.. Potrebné veci o permutáciách (dá sa to nájsť v skriptách v časti 2.3. Permutácie) budete mať najneskôr tento týžden na cvičení.
Vektorové priestory. $F^n$ nad $F$, $F^M$ nad $F$, $F^{\{1,2,3\}}$ nad $F$, $\mathbb R^{\mathbb R}$ nad $\mathbb R$, $\mathbb R$ nad $\mathbb Q$, $\mathbb C$ nad $\mathbb R$, $\mathbb C$ nad $\mathbb Q$ ako príklady vektorového priestoru. Veta o základných vlastnostiach počítania vo vektorových priestoroch ($0\cdot \vec\alpha=\vec0,...$, veta 4.1.6, dúfam.)
Podpriestory. Definícia a niekoľko príkladov. Kritérium vektorového podpriestoru. Lema 4.3.5 (tu som trochu "predbehol" skriptá, dôkaz som nerobil, máte si ho pozrieť sami - je to zovšeobecnenie jednej z implikácií z "kritéria podpriestoru")
Prienik dvoch podpriestorov je opäť podpriestor. Dôkaz som robil, ale nechal som v nom jednu "dieru". Schválne, či si to niekto všimol a upozorní má na to (doplniť to bude veľmi ľahké, len ma zaujíma, ako ste všímaví).
Máte zadania novej domácej úlohy. Tu je linka.. Potrebné veci o permutáciách (dá sa to nájsť v skriptách v časti 2.3. Permutácie) budete mať najneskôr tento týžden na cvičení.
-
jaroslav.gurican
- Posts: 229
- Joined: Fri Aug 31, 2012 4:34 pm
Re: Prednášky ZS 2022/23 - algebra
5. prednáška (18.10.)
Prienik ľubovoľného systému podpriestorov je opäť podpriestor. (Trochu sme sa rozprávali o tom, čo vlastne je prienik systému množín a čo znamená označenie $\bigcap\limits_{i\in I} X_i$. Aj keď príklady, na ktorých sme si to ukázali boli iba také veľmi jednoduché - ako: $\bigcap\limits_{i\in\mathbb N} (i,\infty)=\emptyset$ alebo $\bigcap\limits_{i\in\mathbb N\setminus \{0\}} \langle0,\frac1{i})=\{0\}$, $\bigcap\limits_{i\in\mathbb N\setminus \{0\}} (0,\frac1{i})=\emptyset$)
Lineárna kombinácia (a lineárny obal). Definícia lineárnej kombinácie, lineárny obal vektorov $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$. Lineárny obal je podpriestor, tiež sme ho nazývali podpriestor generovaný vektormi $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$. Ak $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n\in S$, tak $[\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n]\subseteq S$. (Teda lineárny obal je najmenší podpriestor obsahujúci $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$.)
$[\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n]=[\vec\beta_1,\dots,\vec\beta_m]$ práve vtedy, keď 1. $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n\in [\vec\beta_1,\dots,\vec\beta_m]$ a 2. $\vec\beta_1,\dots,\vec\beta_m\in [\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n]$.
Vektor $\vec\beta$ je lineárnou kombináciou vektorov $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$ práve vtedy, keď $[\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n]=[\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n,\vec\beta]$.
Lineárna závislosť/nezávislosť. Definícia lineárnej závislosti a nezávislosti. Príklady.
Ak je jeden vektor je lineárne nezávislý, tak je to nenulový vektor.
Vektory sú lineárne závislé práve vtedy, keď jeden z nich je lineárnou kombináciou ostatných/predchádzajúcich. Steinitzova veta o výmene a jej dôkaz (na stránke, ktorá je tu uvedená je veľmi podobný, ako ten, ktorý som povedal, rozdiely sú v malých detailoch argumentácie - to, čo som povedal zhruba zodpovedá tomu, čo je v skriptách). (Nabudúce sa vrátim k tomu, ako sa používa, aj ju vysvetlime na konkrétnom príklade).
******************
Na prednáške sme si povedali dve ekvivalentné definície lineárnej nezávislosti. (Vektory sú lineárne nezávislé ak nie sú lineárne závislé. Ekvivalentná podmienka bola vyjadrená implikáciou $a_1\vec\alpha_1+\dots+a_n\vec\alpha_n=\vec0$ $\Rightarrow$ $a_1=\dots=a_n=0$.) Ak niektorým z vás nebolo jasné, že sú skutočne ekvivalentné, odporúčam sa nad tým ešte zamyslieť. Prípadne sa môžete pozrieť na poznámku 4.3.12 v texte/skriptách - to je ale skôr cvičenie na negácie výrokov s kvantifikátormi, ale možno to môže tiež pomôcť.
Tento týždeň nedávam domácu úlohu.
Prienik ľubovoľného systému podpriestorov je opäť podpriestor. (Trochu sme sa rozprávali o tom, čo vlastne je prienik systému množín a čo znamená označenie $\bigcap\limits_{i\in I} X_i$. Aj keď príklady, na ktorých sme si to ukázali boli iba také veľmi jednoduché - ako: $\bigcap\limits_{i\in\mathbb N} (i,\infty)=\emptyset$ alebo $\bigcap\limits_{i\in\mathbb N\setminus \{0\}} \langle0,\frac1{i})=\{0\}$, $\bigcap\limits_{i\in\mathbb N\setminus \{0\}} (0,\frac1{i})=\emptyset$)
Lineárna kombinácia (a lineárny obal). Definícia lineárnej kombinácie, lineárny obal vektorov $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$. Lineárny obal je podpriestor, tiež sme ho nazývali podpriestor generovaný vektormi $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$. Ak $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n\in S$, tak $[\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n]\subseteq S$. (Teda lineárny obal je najmenší podpriestor obsahujúci $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$.)
$[\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n]=[\vec\beta_1,\dots,\vec\beta_m]$ práve vtedy, keď 1. $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n\in [\vec\beta_1,\dots,\vec\beta_m]$ a 2. $\vec\beta_1,\dots,\vec\beta_m\in [\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n]$.
Vektor $\vec\beta$ je lineárnou kombináciou vektorov $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$ práve vtedy, keď $[\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n]=[\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n,\vec\beta]$.
Lineárna závislosť/nezávislosť. Definícia lineárnej závislosti a nezávislosti. Príklady.
Ak je jeden vektor je lineárne nezávislý, tak je to nenulový vektor.
Vektory sú lineárne závislé práve vtedy, keď jeden z nich je lineárnou kombináciou ostatných/predchádzajúcich. Steinitzova veta o výmene a jej dôkaz (na stránke, ktorá je tu uvedená je veľmi podobný, ako ten, ktorý som povedal, rozdiely sú v malých detailoch argumentácie - to, čo som povedal zhruba zodpovedá tomu, čo je v skriptách). (Nabudúce sa vrátim k tomu, ako sa používa, aj ju vysvetlime na konkrétnom príklade).
******************
Na prednáške sme si povedali dve ekvivalentné definície lineárnej nezávislosti. (Vektory sú lineárne nezávislé ak nie sú lineárne závislé. Ekvivalentná podmienka bola vyjadrená implikáciou $a_1\vec\alpha_1+\dots+a_n\vec\alpha_n=\vec0$ $\Rightarrow$ $a_1=\dots=a_n=0$.) Ak niektorým z vás nebolo jasné, že sú skutočne ekvivalentné, odporúčam sa nad tým ešte zamyslieť. Prípadne sa môžete pozrieť na poznámku 4.3.12 v texte/skriptách - to je ale skôr cvičenie na negácie výrokov s kvantifikátormi, ale možno to môže tiež pomôcť.
Tento týždeň nedávam domácu úlohu.
-
jaroslav.gurican
- Posts: 229
- Joined: Fri Aug 31, 2012 4:34 pm
Re: Prednášky ZS 2022/23 - algebra
6. prednáška (25.10.)
Báza a dimenzia. Definícia konečnorozmerného priestoru, definícia bázy. Ľubovoľné dve bázy majú rovnaký počet prvkov, každý konečnorozmerný priestor (okrem $V=\{\vec0\}$) má bázu. Dimenzia vektorového priestoru.
Ekvivalentné podmienky, kedy vektory tvoria bázu. Podpriestor konečnorozmerného priestoru je konečnorozmerný a vzťah dimenzie priestoru a podpriestoru. Ak $S$ je podpriestor $V$ a $d(S)=d(V)$, tak $S=V$.
*****
V texte v tejto kapitole nájdete nejaké veci, ktoré som nehovoril na prednáške. Z príkladu 4.4.19 som spravil len jednu časť - ale veľa takýchto príkladov bude na cviku. Možno sa vám oplatí zamyslieť sa nad poznámkou 4.4.20, ktorá s týmto príkladom súvisí - ale opäť, ide o vec, ktorú budete počuť ešte viackrát.
Nerobil som príklad 4.4.21. To je ten istý príklad, ktorý je napísaný tu: http://msleziak.com/forum/viewtopic.php?f=6&t=349
Ide tam o dôkaz toho, že $\{a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{2^2}; a,b,c\in\mathbb Q\}$ tvorí s obvyklým sčitovaním a násobením pole. Koho to zaujíma, môže sa pozrieť - je to ukážka, že občas môžu veci z lineárnej algebry pomôcť v situáciách, kde by sme ich na prvý pohľad neočakávali. (A podobné veci budeme používať v Algebre 3 - ak ju budete absolvovať -, keď sa budeme rozprávať o rozšíreniach polí.)
Ak stihnete, tak niekedy na cviku sa možno dostanete k nejakému príkladu vektorového priestoru, ktorý nie je konečnorozmerný. (Dá sa to pozrieť v príklade 4.4.22. - skúste si rozmyslieť niečo vlastné, alebo skúste niečo z úlohy 4.2.5). Pre nás budú zaujímavé hlavne konečnorozmerné priestory.
Nehovoril som nič z poznámky 4.4.23 - tá hovorí iba o tom, že podobné veci fungujú aj v nekonečnorozmerných priestoroch. (My sme definovali lineárnu nezávislosť a lineárny obal iba pre konečne veľa vektorov; dalo by sa to spraviť aj pre ľubovoľnú množinu vektorov, nie nutne konečnú. Potom sa dá hovoriť o báze aj v nekonečnorozmerných priestoroch.)
Máte zadania novej domácej úlohy. Tu je linka. Budúci týždeň nie je prednáška, je štátny sviatok. Ale domáca úloha sa na budúci týždeň bude odovzdávať.
Báza a dimenzia. Definícia konečnorozmerného priestoru, definícia bázy. Ľubovoľné dve bázy majú rovnaký počet prvkov, každý konečnorozmerný priestor (okrem $V=\{\vec0\}$) má bázu. Dimenzia vektorového priestoru.
Ekvivalentné podmienky, kedy vektory tvoria bázu. Podpriestor konečnorozmerného priestoru je konečnorozmerný a vzťah dimenzie priestoru a podpriestoru. Ak $S$ je podpriestor $V$ a $d(S)=d(V)$, tak $S=V$.
*****
V texte v tejto kapitole nájdete nejaké veci, ktoré som nehovoril na prednáške. Z príkladu 4.4.19 som spravil len jednu časť - ale veľa takýchto príkladov bude na cviku. Možno sa vám oplatí zamyslieť sa nad poznámkou 4.4.20, ktorá s týmto príkladom súvisí - ale opäť, ide o vec, ktorú budete počuť ešte viackrát.
Nerobil som príklad 4.4.21. To je ten istý príklad, ktorý je napísaný tu: http://msleziak.com/forum/viewtopic.php?f=6&t=349
Ide tam o dôkaz toho, že $\{a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{2^2}; a,b,c\in\mathbb Q\}$ tvorí s obvyklým sčitovaním a násobením pole. Koho to zaujíma, môže sa pozrieť - je to ukážka, že občas môžu veci z lineárnej algebry pomôcť v situáciách, kde by sme ich na prvý pohľad neočakávali. (A podobné veci budeme používať v Algebre 3 - ak ju budete absolvovať -, keď sa budeme rozprávať o rozšíreniach polí.)
Ak stihnete, tak niekedy na cviku sa možno dostanete k nejakému príkladu vektorového priestoru, ktorý nie je konečnorozmerný. (Dá sa to pozrieť v príklade 4.4.22. - skúste si rozmyslieť niečo vlastné, alebo skúste niečo z úlohy 4.2.5). Pre nás budú zaujímavé hlavne konečnorozmerné priestory.
Nehovoril som nič z poznámky 4.4.23 - tá hovorí iba o tom, že podobné veci fungujú aj v nekonečnorozmerných priestoroch. (My sme definovali lineárnu nezávislosť a lineárny obal iba pre konečne veľa vektorov; dalo by sa to spraviť aj pre ľubovoľnú množinu vektorov, nie nutne konečnú. Potom sa dá hovoriť o báze aj v nekonečnorozmerných priestoroch.)
Máte zadania novej domácej úlohy. Tu je linka. Budúci týždeň nie je prednáška, je štátny sviatok. Ale domáca úloha sa na budúci týždeň bude odovzdávať.
-
jaroslav.gurican
- Posts: 229
- Joined: Fri Aug 31, 2012 4:34 pm
Re: Prednášky ZS 2022/23 - algebra
1. 11. 2022 bol štátny sviatok.
8. týždeň: (8. 11. 2022)
Lineárne a direktné súčty podpriestorov. Táto časť zostala na samostatné naštudovanie, DÚ.
Operácie s maticami. Matice sa dajú sčitovať, násobiť skalárom. $M_{m,n}(F)$ s týmito operáciami tvorí vektorový priestor (dimenzie $m\cdot n$ - toto sme nepovedali, respektíve som povedal, ze si to máte rozmyslieť).
Riadková ekvivalencia a redukovaná trojuholníková matica. Zadefinovali riadkový priestor matice $A$, označili sme ho $V_A$, zadefinovaloi sme elementárne riadkové operácie (ERO typu 1, 2,3) a riadkovú ekvivalenciu matíc rovnakého typu ($A\sim B$). Ukázali sme si, že riadkové operácie nemenia podpriestor prislúchajúci matici ($A\sim B \Rightarrow V_A=V_B$). Zadefinovali sme RTM a ukázali sme si, že každá matica sa dá upraviť na redukovaný trojuholníkový tvar. Tiež sme ukázali, že nenulové riadky redukovanej trojuholníkovej matice sú lineárne nezávislé
(dôkaz nebol formálny, len sme si ukázali jeho podstatu), čiže pomocou riadkových úprav matice na RTM vieme nájsť "peknú" bázu daného podpriestoru.
Máte zadania novej domácej úlohy. Tu je linka.
8. týždeň: (8. 11. 2022)
Lineárne a direktné súčty podpriestorov. Táto časť zostala na samostatné naštudovanie, DÚ.
Operácie s maticami. Matice sa dajú sčitovať, násobiť skalárom. $M_{m,n}(F)$ s týmito operáciami tvorí vektorový priestor (dimenzie $m\cdot n$ - toto sme nepovedali, respektíve som povedal, ze si to máte rozmyslieť).
Riadková ekvivalencia a redukovaná trojuholníková matica. Zadefinovali riadkový priestor matice $A$, označili sme ho $V_A$, zadefinovaloi sme elementárne riadkové operácie (ERO typu 1, 2,3) a riadkovú ekvivalenciu matíc rovnakého typu ($A\sim B$). Ukázali sme si, že riadkové operácie nemenia podpriestor prislúchajúci matici ($A\sim B \Rightarrow V_A=V_B$). Zadefinovali sme RTM a ukázali sme si, že každá matica sa dá upraviť na redukovaný trojuholníkový tvar. Tiež sme ukázali, že nenulové riadky redukovanej trojuholníkovej matice sú lineárne nezávislé
(dôkaz nebol formálny, len sme si ukázali jeho podstatu), čiže pomocou riadkových úprav matice na RTM vieme nájsť "peknú" bázu daného podpriestoru.
Máte zadania novej domácej úlohy. Tu je linka.
-
jaroslav.gurican
- Posts: 229
- Joined: Fri Aug 31, 2012 4:34 pm
Re: Prednášky ZS 2022/23 - algebra
9. týždeň: (15.11.)
Riadková ekvivalencia.
Definícia hodnosti matice. Pozreli sme sa (na príklade a potom sme to sformulovali a dokázali ako vetu) na to, ako sa dá zistiť či vektor patrí do $V_A$ ak $A$ je v redukovanom trojuholníkovom tvare. Znovu sme si pripomenuli, že nenulové riadky redukovanej trojuholníkovej matice sú lineárne nezávislé.
Pre redukované trojuholníkové matice rovnakých rozmerov platí $V_A=V_B$ práve vtedy, keď $A=B$ (na tejto prenáške sme robili len implikáciu $\Rightarrow$, tú druhú sme robili hneď po definícii elem. riadkových operácií a riadkového priestoru matice). Z toho sme ako dôsledok dostali ekvivalentné podmienky pre riadkovú ekvivalenciu matíc.
Odporúčam si samostatne pozrieť tieto veci:
* Príklad 5.2.16, ktorý ilustruje na konkrétnom príklade jeden z krokov dôkazu vety 5.2.15. (Hlavne v prípade, že vám ten dôkaz bol nebol jasný.)
* Poznámku 5.2.18, z ktorej vidno, že veci ktoré sme sa naučili, možno využiť aspoň na čiastočnú skúšku správnosti pri úprave na RTM.
* Poznámka 5.2.19 upozorňuje na istú nepresnosť, ktorej sa študenti často dopúšťajú a neskôr môže spôsobovať problémy pri využití elementárnych riadkových operácií na výpočet determinantov. (Aj o tomto možno bude reč na cviku.)
Lineárne zobrazenia. Definícia, príklady, pre lin. zobr. $f\colon V\to W$ platí $f(\vec0_V)=\vec0_W$. Ekvivalentné podmienky.
Pre lin. zobr. napr. $f\colon F^2\to F^3$ platí $f(a,b)=f(a\epsilon_1+b\epsilon_2)=af(\epsilon_1)+bf(\epsilon_2)$. Ak "predpíšeme", že napr. $f(\epsilon_1)=(2,1,3),\ f(\epsilon_2)=(-1,2,1)$, tak to znamená, že
$$
f(a,b)=f(a\epsilon_1+b\epsilon_2)=af(\epsilon_1)+bf(\epsilon_2)=a(2,1,3)+b(-1,2,1)=(2a-b,a+2b,3a+b)
$$
a teda vďaka tomu, že máme určené hodnoty $f(\epsilon_1)$ a $f(\epsilon_2)$, máme tým určené "celé" lin. zobr. $f$ a máme aj "pekný vzorček" na výpočet $f(a,b)$.
Konečne som vyrobil zadanie domácej úlohy, tu je linka. Keďže som ju zadala tak neskoro, je termín odovzdania posunutý o týždeň (vtedy potom budete odovzdávať 2 DÚ naraz). Úloha, ktorú som napísal, že sa má odovzdať 18. 11. sa bude odovzdávať o týždeň, t.j. 25. 11., lebo 18. 11. je nejaké voľno, zabudol som na to.
Riadková ekvivalencia.
Definícia hodnosti matice. Pozreli sme sa (na príklade a potom sme to sformulovali a dokázali ako vetu) na to, ako sa dá zistiť či vektor patrí do $V_A$ ak $A$ je v redukovanom trojuholníkovom tvare. Znovu sme si pripomenuli, že nenulové riadky redukovanej trojuholníkovej matice sú lineárne nezávislé.
Pre redukované trojuholníkové matice rovnakých rozmerov platí $V_A=V_B$ práve vtedy, keď $A=B$ (na tejto prenáške sme robili len implikáciu $\Rightarrow$, tú druhú sme robili hneď po definícii elem. riadkových operácií a riadkového priestoru matice). Z toho sme ako dôsledok dostali ekvivalentné podmienky pre riadkovú ekvivalenciu matíc.
Odporúčam si samostatne pozrieť tieto veci:
* Príklad 5.2.16, ktorý ilustruje na konkrétnom príklade jeden z krokov dôkazu vety 5.2.15. (Hlavne v prípade, že vám ten dôkaz bol nebol jasný.)
* Poznámku 5.2.18, z ktorej vidno, že veci ktoré sme sa naučili, možno využiť aspoň na čiastočnú skúšku správnosti pri úprave na RTM.
* Poznámka 5.2.19 upozorňuje na istú nepresnosť, ktorej sa študenti často dopúšťajú a neskôr môže spôsobovať problémy pri využití elementárnych riadkových operácií na výpočet determinantov. (Aj o tomto možno bude reč na cviku.)
Lineárne zobrazenia. Definícia, príklady, pre lin. zobr. $f\colon V\to W$ platí $f(\vec0_V)=\vec0_W$. Ekvivalentné podmienky.
Pre lin. zobr. napr. $f\colon F^2\to F^3$ platí $f(a,b)=f(a\epsilon_1+b\epsilon_2)=af(\epsilon_1)+bf(\epsilon_2)$. Ak "predpíšeme", že napr. $f(\epsilon_1)=(2,1,3),\ f(\epsilon_2)=(-1,2,1)$, tak to znamená, že
$$
f(a,b)=f(a\epsilon_1+b\epsilon_2)=af(\epsilon_1)+bf(\epsilon_2)=a(2,1,3)+b(-1,2,1)=(2a-b,a+2b,3a+b)
$$
a teda vďaka tomu, že máme určené hodnoty $f(\epsilon_1)$ a $f(\epsilon_2)$, máme tým určené "celé" lin. zobr. $f$ a máme aj "pekný vzorček" na výpočet $f(a,b)$.
Konečne som vyrobil zadanie domácej úlohy, tu je linka. Keďže som ju zadala tak neskoro, je termín odovzdania posunutý o týždeň (vtedy potom budete odovzdávať 2 DÚ naraz). Úloha, ktorú som napísal, že sa má odovzdať 18. 11. sa bude odovzdávať o týždeň, t.j. 25. 11., lebo 18. 11. je nejaké voľno, zabudol som na to.
-
jaroslav.gurican
- Posts: 229
- Joined: Fri Aug 31, 2012 4:34 pm
Re: Prednášky ZS 2022/23 - algebra
10. týždeň: (22.11.)
Lineárne zobrazenia. Lineárne zobrazenie je jednoznačne určené obrazmi bázových vektorov. (Základná veta o lineárnych zobrazeniach.)
Matica $A_f$ lineárneho zobrazenia $f\colon F^m\to F^n$. Vyjadrenie lineárneho zobrazenia ako $f(\vec\alpha)=\vec\alpha A_f$. (V texte je aj vyriešený príklad na nájdenie matice lineárneho zobrazenia - úloha 5.3.1. Na prednáške sme taký príklad nerobili, budeme takéto niečo robiť na cvičení.)
Zloženie dvoch lineárnych zobrazení je opäť lineárne (ak sa dajú zložiť).
Súčin matíc. Definícia súčinu matíc a súvis so skladaním lineárnych zobrazení.
Stručne som povedal niečo o príklade týkajúcom sa zloženia dvoch rotácií. (V texte na webe je to príklad 5.4.5.) V tomto príklade dostaneme súčtové vzorce pre kosínus a sínus.
Niečo podobné sa dá odvodiť pomocou komplexných čísel. Nie je to náhoda - v skutočnosti sa komplexné čísla dajú zaviesť ako matice: viewtopic.php?t=571
Asociatívnosť násobenia matíc (ak sa dajú vynásobiť) a ďalšie vlastnosti (distributívnosť $A(B+C)=AB+AC$, $(A+B)C=AC+BC$, násobenie jednotkovou maticou $I_mA=A$, $AI_n=A$ pre maticu $A$ typu $m\times n$).
Inverzná matica. Ak $f$ je lineárne a bijektívne tak aj $f^{-1}$ je lineárne. Podmienky, kedy je lineárne zobrazenie injektívne, surjektívne, bijektívne, že pre lin. zobrazenie $f\colon V\to W$, keď majú $V$ a $W$ rovnaké dimenzie je bijektívnosť ekvivalentná injektívnosti, ekvivalentná surjektívnosti. K definícii inverznej matice sa dostaneme nabudúce.
Domáca úloha je tu.
Lineárne zobrazenia. Lineárne zobrazenie je jednoznačne určené obrazmi bázových vektorov. (Základná veta o lineárnych zobrazeniach.)
Matica $A_f$ lineárneho zobrazenia $f\colon F^m\to F^n$. Vyjadrenie lineárneho zobrazenia ako $f(\vec\alpha)=\vec\alpha A_f$. (V texte je aj vyriešený príklad na nájdenie matice lineárneho zobrazenia - úloha 5.3.1. Na prednáške sme taký príklad nerobili, budeme takéto niečo robiť na cvičení.)
Zloženie dvoch lineárnych zobrazení je opäť lineárne (ak sa dajú zložiť).
Súčin matíc. Definícia súčinu matíc a súvis so skladaním lineárnych zobrazení.
Stručne som povedal niečo o príklade týkajúcom sa zloženia dvoch rotácií. (V texte na webe je to príklad 5.4.5.) V tomto príklade dostaneme súčtové vzorce pre kosínus a sínus.
Niečo podobné sa dá odvodiť pomocou komplexných čísel. Nie je to náhoda - v skutočnosti sa komplexné čísla dajú zaviesť ako matice: viewtopic.php?t=571
Asociatívnosť násobenia matíc (ak sa dajú vynásobiť) a ďalšie vlastnosti (distributívnosť $A(B+C)=AB+AC$, $(A+B)C=AC+BC$, násobenie jednotkovou maticou $I_mA=A$, $AI_n=A$ pre maticu $A$ typu $m\times n$).
Inverzná matica. Ak $f$ je lineárne a bijektívne tak aj $f^{-1}$ je lineárne. Podmienky, kedy je lineárne zobrazenie injektívne, surjektívne, bijektívne, že pre lin. zobrazenie $f\colon V\to W$, keď majú $V$ a $W$ rovnaké dimenzie je bijektívnosť ekvivalentná injektívnosti, ekvivalentná surjektívnosti. K definícii inverznej matice sa dostaneme nabudúce.
Domáca úloha je tu.