Vety o reprezentácii

[Martin Sleziak]

Na tomto predmete sa vyskytli dve vety typu, kde sme vedeli nejakú zaujímavú triedu priestorov charakterizovať ako podpriestory Tichonovových kociek:$\newcommand\intrv[2]{\langle#1,#2\rangle}$

• Priestor $X$ je úplne regulárny $T_2$-priestor $\Leftrightarrow$ $X$ je homeomorfný s podpriestorom priestoru $\intrv01^A$ (pre nejaké $A$).
• Priestor $X$ je kompaktný $T_2$-priestor $\Leftrightarrow$ $X$ je homeomorfný s uzavretým podpriestorom priestoru $\intrv01^A$ (pre nejaké $A$).

Chcel by som aspoň trochu poukázať na to, že sa to podobá na niektoré výsledky, ktoré poznáme pre iné typy objektov. Použijem nejaký pomerne vágny názov "vety o reprezentácii" - z príkladov snáď bude jasné čo tým myslím. Asi to, čo je nám najviac známe, je prípad konečnorozmerných vektorových priestorov.

Ale asi takéto pomenovanie nie je úplne nezmyselné - pridám linku na Wikipédiu: Representation theorem

Vektorové priestory a dimenzia

Keď sme sa prvýkrát učili o vektorových priestoroch, tak jeden dôležitý výsledok bol, že každý konečnorozmerný vektorový priestor nad poľom $F$ je izomorfný s $F^n$. Pričom číslo $n$ je presne dimenzia priestoru.

• Toto nám vlastne hovorí, že hoci vektorové priestory sme definovali ako nejakú pomerne abstraktnú štruktúru určenú množinou spolu s operáciami, ktoré mali spĺňať nejaké axiómy - vlastne každý konečnorozmerný vektorový priestor je až na izomorfizmus presne priestor takéhoto typu. Dáva nám to nejakú veľmi konkrétnu reprezentáciu pre vektorové priestory.
• Súčasne vidíme, že štruktúra konečnorozmerných vektorových priestorov je v istom zmysle veľmi jednoduchá - každý z nich je (až na izomorfizmus) jednoznačne určený jediným číslom (dimenziou).

Keďže s vektorovými priestormi sme pracovali dosť veľa, asi sme stretli prípady:

• Kedy sa nám o veciach ľahšie uvažovalo abstraktne než ako keby sme sa pozerali iba na usporiadané $n$-tice.
• Kedy bolo naopak výhodné počítať v súradniciach.
• A často je z nejakých dôvodov užitočné zamyslieť sa nad oboma možnosťami.

Súčasne poznamenám, že to čo sme napísali vyššie sa dá takmer bezo zmeny zopakovať aj bez podmienky, že sa zaoberáme iba konečnorozmernými priestormi. V takomto prípade je však o čosi ťažšie dokázať, že báza existuje. (Pre tento nekonečnorozmerný prípad sa často používa aj termín Hamelova báza.) Teraz už dimenzia nebude nejaké prirodzené číslo, ale bude to kardinálne číslo.

Niečo viac o nekonečnorozmernom prípade sa dá nájsť na mnohých rôznych miestach - ja spomeniem, že niečo o tom je napísané aj v poznámkach k predmetu Aplikácie teórie množín.

Grupy a Cayleyho veta
Výsledok, ktorý ste sa možno naučili na niektorom algebraickom predmete, je Cayleyho veta - každá grupa je izomorfná s nejakou grupou permutácií. (Dokonca stačí používať podgrupy $S_n$ pre $n=|G|$.)
Je to veta pododbného typu - grupy sme síce definovali nejako abstraktne, ale vidíme, že keby sme sa zaoberali iba grupami permutácií, tak máme (až na izomorfizmus) úplne všetky grupy.

Čiastočne usporiadané množiny
Iný výsledok podobného typu hovorí, že každá čiastočne usporiadaná množina $(A,\le)$ sa dá vložiť do $(\mathcal P(X),\subseteq)$ pre vhodné $X$.

Hilbertove priestory (separabilné aj väčšie)
Keďže som spomenul vektorové priestory a to, že dimenzia sa dá zovšeobecniť aj na ľubovoľnú kardinalitu, tak spomeniem aj niečo o Hilbertových priestoroch - čo je do istej miery podobné.
Možno ste stretli výsledok, že každý separabilný Hilbertov priestor je izometricky izomorfný s $\ell_2$.
Ak použijeme pojem sumy cez ľubovoľnú indexovú množinu, tak vieme definovať priestor
$$\ell_2(A)=\{f\colon A\to\mathbb R; \sum_{a\in A} f(a)^2<+\infty\}$$
a zaviesť na ňom štruktúru Hilbertovho priestoru. (Ten "klasický" priestor $\ell_2$ dostaneme, ak množina $A$ je spočítateľná.)

V každom Hilbertovom priestore existuje ortogonálna báza. Kardinalita ortogonálnej bázy popisuje tento priestor jednoznačne (až na izomorfizmus). To je teda podobná situácia ako pre vektorové priestory - len teraz hovoríme o dimenzii ortogonálnej bázy (nie Hamelovej bázy).
Navyše, každý takýto priestor je izomorfný s priestorom $\ell_2(A)$ pre vhodnú množinu $A$.

Opäť aj na tomto mieste sa ako jeden možný zdroj dá použiť text k predmetu Aplikácie teórie množín.