\newcommand{\abs}[1]{|#1|}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\vek}[1]{\vec{#1}}
\newcommand{\di}[1]{d(#1)}
\newcommand{\sm}{\setminus}
$
- Overte, že $\R$ je vektorový priestor nad poľom $\Q$. Dokážte, že v tomto priestore sú $1$, $\sqrt 2$ a $\sqrt 3$ lineárne nezávislé.
- Ukážte, že vo vektorovom priestore $\R$ nad $\Q$ (z predošlej úlohy) sú lineárne nezávislé vektory $1+3\sqrt2$ a $2-\sqrt2$.
- Sú $1$, $\sqrt2$, $\sqrt3$, $\sqrt6$ lineárne nezávislé vo vektorovom priestore $\R$ nad poľom $\Q$? (Hint: Úlohu môže o niečo zjednodušiť, ak sa pozriete na $1$ a $\sqrt3$ ako prvky priestoru $\R$ nad poľom $\Q(\sqrt2)=\{a+b\sqrt2; a,b\in\Q\}$.)
- Zistite, či dané vektory sú lineárne závislé v príslušnom vektorovom priestore:
a) (1,2,3), (1,3,2), (2,1,5) v $\R^3$,
b) (1,2,3), (1,3,2), (2,1,5), (1,127,3) v $\R^3$,
c) (1,3,4), (2,1,3), (3,1,4) v $\Z_5^3$
d) (1,3,4), (2,1,3), (3,1,4) v $\Z_7^3$. - Zistite, či sú nasledujúce funkcie lineárne závislé vo vektorovom priestor všetkých funkcií z $\R$ do $\R$:
a) $x+1$, $x^2$, $x^3$,
b) 1, $x+a$, $x^2+bx+c$ ($a,b,c$ môžu byť \lube reálne čísla),
c*) 1, $\cos x$, $\cos^2(\frac x2)$,
d) $x$, $x(x-1)$, $x(x-1)(x-2)$,
e) 1, $\cos x$, $\cos 2x$.
- Zistite, či dané vektory tvoria bázu v $\R^3$:
a) (1,2,3), (1,-2,3), (1,2,-3)
b) (1,1,1), (1,1,0), (1,0,1)
c) (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,1). - Zistite, či dané vektory tvoria bázu v $\Z_5^3$:
a) (1,2,3), (2,3,4), (0,3,1)
b) (1,0,0), (0,1,2), (2,1,3)
c) (0,1,2), (3,0,1), (1,0,2). - $P_n$ označme priestor všetkých polynómov stupňa najviac $n$. Overte, že $\di{P_n}=n+1$ a že $1,x-1,\ldots (x-1)^n$ je báza tohoto priestoru.
- Určte dimenziu podpriestoru $[\vek\alpha, \vek\beta, \vek\gamma]$, ak $\vek\alpha=(1,3,2,1)$, $\vek\beta=(4,9,5,4)$ a $\vek\gamma=(3,7,4,3)$ v $\R^4$.
- Nájdite bázu a dimenziu \ppru $P=[(1,1,1,3),(1,2,3,6),(1,6,6,6),(3,1,4,1)]$ priestoru $\Z_7^3$.
- Ak sa to dá, doplňte dané vektory na bázu príslušného vektorového priestoru:
a) (1,1,2), (2,1,3) v $\R^3$,
b) $x^2-1, x^2+1$ v priestore polynómov stupňa najviac 3,
c) (1,2,3,0), (3,4,1,2) v $\Z_5^4$. - Ak každý z vektorov $\vek\beta_1, \ldots, \vek\beta_k$ je lineárnou kombináciou vektorov $\vek\alpha_1, \ldots, \vek\alpha_m$, tak $\di{[\vek\beta_1, \ldots, \vek\beta_k]} \leq \di{[\vek\alpha_1, \ldots, \vek\alpha_m]}$.
- a) Nech $F=\{a+b\sqrt[3]2+c\sqrt[3]{2^2}; a,b,c\in\Q\}$. Aká je dimenzia $F$, ak ho chápeme ako vektorový priestor nad poľom $\Q$?
b) Vedeli by ste tento fakt využiť na zdôvodnenie, že pre ľubovoľný prvok $\alpha\in F\sm\{0\}$ existuje v $F$ inverzný prvok vzhľadom na násobenie? (Hint: Skúste sa pozrieť na vektory $1$, $\alpha$, $\alpha^2$, $\alpha^3$ v tomto vektorovm priestore.)
(Tento príklad ukazuje, že keď už vieme nejaké veci o vektorových priestoroch, tak sa dá oveľa jednoduchšie dokázať, že táto množina tvorí pole. Podobné typy úvah ešte stretnete aj na iných predmetoch, keď sa budete učiť o rozšíreniach polí.) - a) Nech $p_1,\dots,p_k$ sú navzájom rôzne prvočísla. Ukážte, že čísla $\ln p_1,\ln p_2, \dots,\ln p_k$ sú lineárne nezávislé ako prvky vektorového priestoru $\R$ nad poľom $\Q$.
b) Ukážte, že vektorový priestor $\R$ nad poľom $\Q$ je nekonečnorozmerný.
(Neskôr uvidíme jednoduchšie zdôvodnenie toho, že tento priestor nie je konečnorozmerný -- budeme ale potrebovať vedieť nejaké veci o lineárnych izomorfizmoch a tiež o spočítateľných a nespočítateľných množinách.)
Súčet podpriestorov je definovaný ako $$S+T=\{\vec s+\vec t; \vec s\in S, \vec t\in T\}.$$
Jeho dimenziu môžeme (pre konečnorozmerné $S$ a $T$) vyjadriť pomocou Grassmannovho vzorca
\begin{align*}
\di{S+T}&=\di{S}+\di{T}-\di{S\cap T}\\
\di{S+T}+\di{S\cap T}&=\di S+\di T
\end{align*}
(Tento vzorec sa ľahko pamätá, keďže sa podobá na vyjadrenie pre počet prvkov zjednotenia dvoch množín: $$\abs{A\cup B}=\abs{A}+\abs{B}-\abs{A\cap B}.$$ Pri počte prvkov máme podobné vyjadrenie aj pre viac než dve množiny -- pre podpriestory už analogické tvrdenie neplatí.)
- Zistite $\di U$, $\di V$, $\di{U+V}$, $\di{U\cap V}$, bázu $U+V$ a bázu $U\cap V$
(Pri tejto úlohe sa môže hodiť používať elementárne riadkové operácie a úpravu na redukovaný stupňovitý tvar. Zaradil som ju už do tejto sady -- t.j. zhruba v čase, keď sa preberajú súčty podpriestorov.)
a) v $\R^2$ pre $U=[(2,5)]$, $V=[(1,3)]$
b) v $\R^3$ pre $U=[(1,2,3),(-1,2,3)]$, $V=[(2,1,4),(-2,1,4)]$
c) v $\R^4$ pre $U=[(1,0,1,0),(1,0,0,1)]$, $V=[(1,1,1,0),(1,0,1,1)]$
d) v $\R^4$ pre $U=[(1,2,3,4),(1,1,1,1),(4,3,2,1)]$,
$V=[(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,0,0)]$.
[a)1,1,2,0; b)2,2,3,1; c)2,2,4,0; d)2,3,4,1] - Nech $T=[(1,3,2),(2,1,3),(3,4,0)]$ je \ppr $(\Z_5)^3$. Existuje podpristor $S$ taký, že $(\Z_5)^3=T\oplus S$? Ak áno, nájdite ho! Je tento podpriestor jednoznačne určený?
- Dokážte, že ak $\vek{e_1},\ldots, \vek{e_k}$ je báza \vpru $V$, tak $V=[\vek{e_1}]\oplus \ldots \oplus [\vek{e_k}]$.
- Ak máme zadané podpriestory
\begin{align*}
W_1&=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x+y-z=0\},
W_2&=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; 3x+y-2z=0\},
W_3&=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x-7y+3z=0\},
\end{align*}
nájdite $\dim(W_1\cap W_2\cap W_3)$ a $\dim(W_1+W_2)$, $\dim(W_1+W_3)$, $\dim(W_2+W_3)$. - Nájdite príklad vektorového priestoru a podpriestorov $W_{1,2,3}$ takých, že
\begin{multline*}
\dim(W_1+W_2+W_3)\ne\dim{W_1}+\dim(W_2)+\dim(W_3)-\\-\dim(W_1\cap W_2)-\dim(W_1\cap W_3)-\dim(W_2\cap W_3)+\dim(W_1\cap W_2\cap W_3)
\end{multline*}
(Toto ukazuje, že neplatí analógia vzťahu $\abs{A\cup B\cup C}=\abs{A}+\abs{B}+\abs{C} -\abs{A\cap B}-\abs{A\cap C}-\abs{B\cap C}+\abs{A\cap B\cap C}$. Pre zaujímavosť pridám aj takúto linku: Examples of common false beliefs in mathematics - MathOverflow.)