Riešenie.$\newcommand{\R}{\mathbb R}\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon#2\to#3}$
Nech $A$ je matica $3\times3$ nad poľom $\R$ taká, že $\det(A)=1$. Nech $B$ je matica, ktorú dostanem z $A$, ak každý riadok zobrazím lineárnym zobrazením $\Zobr f{\R^3}{\R^3}$ zadaným predpisom
$$f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_3,3x_1+2x_2-x_3,x_1+x_2+x_3).$$
Čomu sa rovná $\det(B)$? (Zdôvodnite, prečo je to tak.)
Máme zadané nejaké lineárne zobrazenie, ktoré môžeme popísať maticou $$M=
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 1 \\
0 & 2 & 1 \\
1 &-1 & 1 \\
\end{pmatrix}.
$$
To znamená, že $f(\vec x)=\vec x\cdot M$.
Ak si $\vec a_1,\vec a_2,\vec a_3$ označíme riadky matice $A$, tak matica $B$ je vlastne matica
$$B=
\begin{pmatrix}
f(\vec a_1) \\ f(\vec a_2) \\ f(\vec a_3)
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\vec a_1M \\ \vec a_2M \\ \vec a_3M
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\vec a_1 \\ \vec a_2 \\ \vec a_3
\end{pmatrix} \cdot M=
A \cdot M.
$$
Chceme teda vlastne vypočítať determinant $\det(B)=\det(A\cdot M)=\det(A)\cdot\det(M)=\det(M)$.
S takýmto zdôvodnením teda vidíme, že vlastne len chceme vypočítať
$$\det(B)=\det(M)=
\begin{vmatrix}
1 & 3 & 1 \\
0 & 2 & 1 \\
1 &-1 & 1 \\
\end{vmatrix}=4.
$$
Spoiler:
$$\det(A\cdot M)=\det(A)\cdot\det(M).$$
Ak $M$ je matica nejakého zobrazenia tak $\det(M)$ mi hovorí, aký (orientovaný) objem bude mať útvar, ktorý dostanem zobrazením jednotkovej kocky.
Pretože ide o lineárne zobrazenie, tak rovnako zväčšuje či zmenšuje objem akéhokoľvek útvaru - teda aj rovnobežnostena určeného riadkami matice $A$. (A obraz tohto rovnobežnostena je presne rovnobežnosten určený riadkami matice $A$.)