Prednášky LS 2022/23 - algebra

[jaroslav.gurican]

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)


Informácie o skúške nájdete tu.

[jaroslav.gurican]

1. prednáška (13. 2. 2023)
Skalárne súčiny.
Definícia skalárneho súčinu na vektorovom priestore nad $\mathbb R$ (spomenul som, že sa skalárny súčin bežne robí aj vo v.p. nad $\mathbb C$, ale tomu sa nebudeme venovať). Príklady. Matica skalárneho súčinu pre sk. súčin vo v.p. typu $\mathbb R^n$.
Definícia dĺžky vektora v danom sk. súčine, vlastnosti dĺžky a sk. súčinu - veta 1.1.8 z textu (aj Schwarzova nerovnosť a trojuholníková nerovnosť - dôkaz troj. nerovnosti bude na dalšej prednáške).

[jaroslav.gurican]

2. prednáška (20. 2. 2023)
Ortogonálne doplnky, ortonormálna báza, Gram-Schmidtov ortogonalizačný proces.
Dakar trojuh. nerovnosti. Pojem uhla medzi vektormi a kolmých vektorov. Euklidovský (vektorový) priestor.
Pojem ortogonálneho doplnku, vlastnosti (na prednáške to bolo v jednej vete) - tvrdenia, lemmy 1.1.13-1.1.16 zo skrípt.
Definícia ortogonálneho a ortonormálneho systému vektorov, ortonormálnej bázy. Tvrdenie 1.1.11 (nenulové ortogonálne vektory sú LN).
Veta o Gram-Schmidtovom ortogonalizačnom procese.

Domácu úlohu číslo 1 nájdete tu - zverejnená 21. 3. 2023.

[jaroslav.gurican]

3. prednáška (27. 2. 2023)
Dokončili sme kapitolu o skalárnych súčinoch. Dokázali sme vety o ortogonálnej projekcii v euklidovskom priestore na konečnorozmerný podpriestor, vetu o ďalších vlastnostiach ortogonálneho doplnku v konečnorozmerných euklidovských priestoroch (pre podpriestory $S, T$ v konečnorozmernom euklidovskom priestore $(E,\langle,\rangle)$ platí: $S\oplus S^\perp=E$, $(S^\perp)^\perp=S$, $(S\cap T)^\perp=S^\perp+T^\perp$.
Definovali sme pojem izomorfizmu dvoch euklidovských priestorov $(E_1,g_1)$ a $(E_2,g_2)$ - zobrazenie $f\colon E_1\to E_2$ sa nazýva izomorfizmus euklidovských priestorov $(E_1,g_1)$ a $(E_2,g_2)$ ak je to bijektívne lineárne zobrazenie a spĺňa podmienku $(\forall \vec{\alpha},\vec{\beta}\in E_1) g_1(\vec{\alpha},\vec{\beta})=g_2(f(\vec{\alpha}),f(\vec{\beta}))$ a kedy sú dva euklidovské priestory izomorfné (keď existuje izomorfmizmus $f$ týchto euklidovských priestorov), dokázali sme vetu, že konečnorozmerné euklidovské priestory $(E_1,g_1)$ a $(E_2,g_2)$ sú izomorfné práve vtedy, keď majú rovnakú dimenziu ($d(E_1)=d(E_2)$).

[jaroslav.gurican]

4. prednáška (6. 3. 2023)
Izomoforizmy euklidovských priestorov Ešte sme si povedali, že vďaka tomu, ako je zo skalárneho súčinu definovaná dĺžka vektora, uhol medzi vektormi a kolmosť vektorov je priamo vidieť, že každý izomorfizmus $f\colon E_1\to E_2$ euklidovských priestorov$(E_1,g_1)$ a $(E_2,g_2)$ musí zachovať dĺžku (t.j. dĺžka $\vec{\alpha}$ v $(E_1,g_1)$ a $f(\vec{\alpha)}$ v $(E_2, g_2)$ sú rovnaké, uhol medzi vektormi a kolmosť.
Kvadratické formy Definícia kvadratickej formy $n$ komutujúcich premenných, čo znamemá komutovanie premenných, rovnosť dvoch kvadratických foriem, symetrický zápis kv. formy, (symetrická) matica kv. formy.
Prečo sú zaujímavé kvadratické formy v tvare $\pm x_1^2\pm x_2^2\dots\pm x_k^2+0x_{k+1}^2+\dots 0x_{n}^2$ (kanonický tvar kv. formy).
Regulárna lineárna transformácia súradníc (alebo regulárna substitúcia - $(y_1,\dots,y_n)P=(x_1,\dots,x_n)$) a kongruentné matice: $B=PAP^T$ pre regulárnu maticu $P$.
Veta o existencii regulárnej lineárnej transformácii súradníc - každá kv. forma $\sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_ix_j$ sa dá vhodnou regulárnou lineárnou transformáciou (substitúciou) súradníc prepísať do tvaru $\pm y_1^2\pm y_2^2\dots\pm y_k^2+0y_{k+1}^2+\dots 0y_{n}^2$ (kanonický tvar kv. formy).

Nerobili sme formálny dôkaz, ten si môžete pozrieť v skriptách (veta 2.2.5 a dôsledok 2.2.6), ale ukázali sme si postup uvedený v dôkaze na konkrétnom príklade, kde sme ukázali podstatné dva kroky z dôkazu: doplnenie na štvorec s tým, ze sa snažíme zbaviť VŠETKÝCH zmiešaných členov obsahujúcich povedzme $x_1$; spôsob, čo robiť, keď nemáme štvorec, ale len zmiešané členy - substitúcia typu $x_1=y_1+y_2$, $x_2=y_1-y_2$ , ktorá prepíše zmiešaný člen $x_1x_2$ na $y_1^2-y^2$, a potom môžeme pokračovať dopĺňaním na štvorec. Výmenu premenných (substitúciu typu $y_1=x_i, y_i=x_1$) sme spomenuli, ale v príklade sme ju nepotrebovali použiť)

Potom sme si ukázali, že tieto veci sa dajú robiť na sym. matici danej kv. formy pomocou symetrických úprav (urobí sa ERO a na výsledku sa hneď spraví analogická stĺpcová operácia - tým zo sym. matice vždy spravíme sym. maticu, sú to úpravy typu $PAP^T$ pre veľmi jednoduché regulárne matice $P$ (každá z nich vznikne z $I$ urobením príslušnej ERO na matici $I$ - na prednáške sme ich označili $E_1,\dots,E_k$, postupne sme robili niečo ako $E_1AE_1^T$, $E_2(E_1AE_1^T)E_2^T$,...) - ale keďže sa každá regulárna matica dá elem. operáciami upraviť na jednotkovú maticu $I$ - čo znamená, že z matice $I$ sa dá el. riadkovými operáciami dostať ľubovoľná regulárna matica $P$, je jasné, že sa týmto postupom dá zo sym. matice $A$ danej kv. formy týmto postupom vyrobiť ľubovoľná $PAP^T$ (pre reg. maticu $P$) a teda aj hľadaná diagonálna matica s $\pm 1$ a nulami na diagonále) - viď postup z príkladov 2.2.7 a 2.2.8 na str. 24-25 v skriptách - je dobre to začať čítať od začiatku strany 24.

Domácu úlohu ešte vyrobím, bude potom na obvyklom mieste.

Ešte by som rád pripomenul, že vzhľadom na to, že veľa pondelkov sú štátne sviatky (veľká noc a 2 májové termíny), vedenie sa rozhodlo, že pondelky 1. a 8. mája sa môžu nahradiť v rámci pondelka a utorka 15. a 16.5 - predpokladám, že využijeme obidva tie termíny na kombinované prednášky-cvičenia. Určite aspoň jeden.

[jaroslav.gurican]

5. prednáška (13. 3. 2023)
Príklad na výpočet kanonického tvaru (resp. "aspoň" diagonálneho) pre symetrickú maticu $A$ (nad $\mathbb{R}$) pomocou symetrických úprav aj s hľadaním matice $P$, ktorá zabezpečí, že $PAP^T$ bude "vypočítaná" diagonálna matica.
Sylvestrov zákon zotrovačnosti pre kvadratické formy (veta 2.3.1). Dokázal som len tú časť, že počet nenulových prvkov na diagonálnej matici je vždy rovnaký a je určený hodnosťou pôvodnej matice. Celý dôkaz budem chcieť len od ľudí, ktorí budú ašpirovať na A-čko.
Definície pozitívnej (semi)definitnosti kvadratickej formy/reálnej symetrickej matice, zápornej (semi)definitnosti kvadratickej formy/reálnej symetrickej matice.
Sylvestrovo kritérium pozitívnej definitnosti (vety/tvrdenia 2.3.3-2.3.5) - tu sme si povedali aj dôkazy.

Tento týždeň domácu úlohu nezadávam.

[jaroslav.gurican]

6. prednáška (20. 3. 2023)
Podobnosť matíc.
Matica prechodu medzi dvoma bázami toho istého vektorového priestoru $V$ nad poľom $F$ (Označenie buď $P$ alebo $P_{\alpha^\prime,\alpha}$). Vlastnosti tejto matice (napr. o "prepočítavaní" súradníc, "vzorec" $(a_1^\prime,\dots,a_n^\prime)_{\alpha^\prime}P_{\alpha^\prime,\alpha}=(a_1,\dots,a_n)_{\alpha}$), matice $P_{\alpha^\prime,\alpha}$ a $P_{\alpha,\alpha^\prime}$ sú navzájom inverzné (teda každá matica prechodu je regulárna), a ak máme bázu $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$ v.p. $V$ a regulárnu maticu $P=\|p_{ij}\|_{n\times n}$, tak vektory $\vec\alpha_1^\prime=\sum_{i=1}^n p_{1i}\vec\alpha_i,\dots,\vec\alpha_n^\prime=\sum_{i=1}^n p_{ni}\vec\alpha_i$ tiež tvoria bázu $V$.

Matica lineárneho zobrazenia $f\colon V\to V$ pri (v) báze $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$ (označili sme ju ako $A_f^{\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n}$ alebo skrátene $A_f^{\alpha}$). Vzorec pre počítanie obrazov vektorov, pre ktoré máme dané súradnice v báze $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$, t.j. ak $\vec\beta=a_1\vec\alpha_1+\dots +a_n\vec\alpha_n$, tak $(a_1,\dots a_n)_\alpha A_f^{\alpha}=(b_1,\dots,b_n)_\alpha$ - a toto je $f(\vec\beta)$ vyjadrený v báze $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$, t.j. $f(\vec\beta)=b_1\vec\alpha_1+\dots b_n\vec\alpha_n$.
Ukázali sme vzorec (vzťah) medzi maticami toho istého zobrazenia v rôznych bázach: $A_f^{\vec\alpha_1^\prime,\dots,\vec\alpha_n^\prime}=P_{\alpha^\prime,\alpha}A_f^{\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n} P_{\alpha^\prime,\alpha}^{-1}=P_{\alpha^\prime,\alpha}A_f^{\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n} P_{\alpha,\alpha\prime}$.

Podobnosť matíc, vlastné čísla a vlastné vektory matice $A$ $n\times n$ nad $F$ - definovali sme pojem podobnosti matíc $n\times n$ nad poľom $F$. Dokázali sme, že matice $A, B$ $n\times n$ sú podobné práve vtedy, keď sú to matice jedného lineárneho zobrazenia pri nejakých dvoch bázach (pričom jedna z nich môže byť $\vec\epsilon_1,\dots,\vec\epsilon_n$).
Ukázali sme príklad, ako sa dá počítať napr. $A^n$ (alebo napr. $e^A$) ak je $A$ podobná diagonálnej matici.
Definovali sme pojmy vlastného čísla a vlastného vektora štvorcovej matice $A$.

Domácu úloha je zverejnená tu.

[jaroslav.gurican]

7. prednáška (27. 3. 2023)
Podobnosť s diagonálnou maticou. V podstate sme dokončili "paragraf" 3.2 - ukázali sme, ako sa majú počítať vlastné čísla a potom pomocou nich vlastné vektory matice $A$ $n\times n$ nad poľom $F$ (aspoň ako sa to dá dobre robiť pre malé $n$). Charakteristický polynóm matice ($ch_A(x)$).

$a\in F$ je vlastné číslo $A$ práve vtedy, keď je riešením (koreňom) polynómu $ch_A(x)$, t.j. keď platí $ch_A(a)=0$.

Matica $n\times n$ je podobná diagonálnej práve vtedy, keď jej vlastné vektory generujú $F^n$. - veta 3.2.3

Ak vlastné vektory $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_k$ prislúchajú ku po dvom rôznym vlastným číslam $c_1,\dots,c_k$ (t.j. vždy tu platí $\vec\alpha_i A=c_i\vec\alpha_i$), tak sú lineárne nezávislé. - lema 3.2.4

Ak má matica $n\times n$ nad $F$ $n$ po dvoch rôznych vlastných čísiel $c_1,\dots,c_n\in F$, potom je podobná s diagonálnou maticou (ktorá má na diagonále prvky $c_1,\dots,c_n$). - dôsledok 3.2.5

Ak sú matice $A, B$ $n\times n$ podobné, potom majú rovnaký determinant, rovnaký charakteristický polynóm a rovnakú stopu. (nutné podmienky na podobnosť matíc) - lema 3.2.6, dôsledok 3.2.7., poznámka za dôsledkom 3.2.7 (v skutočnosti prvá a tretia časť sú dôsledkom druhej, i keď aj prvá aj tretia časť sa dajú ľahko dokázať "bez" druhej)

Ešte je jedno jednoduché kritérium na základe ktorého budeme vedieť, že je matica určite podobná diagonálnej (reálna symetrická matica), ale to bude na nasledujúcej prednáške.

[jaroslav.gurican]

8. prednáška: (3. 4. 2023)
Ortogonálna podobnosť
Definícia ortogonálnej matice a ortogonálnej podobnosti matíc $n\times n$ nad $\mathbb{R}$. Schurova veta. Veta hovoriaca, že vlastné čísla reálnej symetrickej matice sú reálne. Veta o hlavných osiach (reálna symetrická matica je ortogonálne podobná s diagonálnou maticou).
Vlastné vektory reálnej symetrickej matice prislúchajúce ku rôznym vlastným číslam tejto matice sú navzájom kolmé.
Tieto veci spolu s postupom ako hľadať vlastné vektory pre (štvorcové) matice vo všeobecnosti a Gram-Schmidtovou ortogonalizačnou metódou poskytujú návod, ako hľadať pre danú reálnu symetrickú maticu $A$ príslušnú (ortogonálne podobnú) diagonálnu maticu $D$ a ortogonálnu maticu $P$ takú, aby $PAP^{-1}=D$ (t.j. aj $PAP^{T}=D$)

Kvadratické krivky (krivky druhého rádu) - povedali sem si definíciu, ukázali, ako sa dá taká krivka zapísať pomocou matice a ukázali sme základnú transformáciu pre prípad, že "kvadratická časť" má nenulové vlastné čísla (vtedy sme vedeli krivku pomocou ortogonálnej transformácie a posunutia zmeniť na tvar $\lambda_1z_1^2+\lambda_2z_2^2+d^{\prime\prime}=0$) a analyzovali sme ako vyzerá pôvodná krivka v týchto nových súradniciach (na základe znamienok čísiel $\lambda_1,\lambda_2, d^{\prime\prime}$ (resp. nulovosti $d^{\prime\prime}$) - prázdna množina, jeden bod, elipsa (kružnica), (hyperbola, "pretínajúce sa" priamky - toto sme priamo nehovorili, ale tak to bude ak majú $\lambda_1,\lambda_2$ rôzne znamienka).

Tejto téme sa ešte budeme venovať na cvičeniach.

Domácu úlohu je zverejnená tu.

[jaroslav.gurican]

9. prednáška: (17. 4. 2023)
Okruhy, okruhy polynomov
Definici okruhu $(R,+,\cdot)$, komutatívnosti okruhy, jednotky v okruhy. Príklady.
Veta: pre každé $a\in R$ je $a\cdot 0=0=0\cdot a$.
Delitele nuly. Definicia oboru integrity, príklady, kontrapríklady.
Veta: V obore integrity sa dá krátiť nenulovým prvkom. Ak v obore integrity pre $a\ne 0$ platí $a\cdot b=a$, tak $b=1$.
Definícia podokruhu daného okruhu, príklady. Povedali sme, že prienik dvoch (aj ľuboľného, aj nekonečného systému) podokruhov okruhu $R$ je opäť podokruh $R$ (bez dôkazu). Medzi príkladmi sme mali podkruh typu $[1]=\{k\times 1;\ k\in \mathbb{Z}\}=\{0,\pm 1,\pm (1+1),\dots\}$ (ak okruh $R$ má jednotku $1$) a pre podokruh $R$ komutatívneho okruhu s jednotkou $(R^\prime,+,\cdot)$ (vyžadovali sme, aby 1 - jednotka $R^\prime$ - patrila do $R$) a prvok $\alpha\in R^\prime$ sme ukázali, že $S=R[\alpha]=\{a_0+a_1\alpha+\dots +a_n\alpha^n;\ n\in \mathbb N, a_0,\dots a_n\in R\}$ je podokruh $R^\prime$ (a je to najmenší podokruh $R^\prime$ obsahujúci všetky prvky z $R$ a aj prvok $\alpha$).
Homomorfizmus okruhov $(R,+,\cdot)$ a $(S,\oplus,\odot)$, príklady.

Okruh polynómov $R[x]$ (nad komutatívnym okruhom s jednotkou $R$). Čo sú prvky, kedy sú rôzne, ako sa sčítava, ako sa násobí - bez dôkazu sme skonšatovali, že tak dostaneme okruh. Pripodobnili sme ho ku okruhu $R[\alpha]$ z príkladu, ktorý sme spomínali predtým (povedali, sme aj to, že napr. $\sqrt2$ nad $\mathbb Z$, alebo nad $\mathbb Q$ nie je vhodný ako prvok $x$ v definícii okruhu polynómov, lebo platí $1+1\cdot\sqrt2-(\sqrt2)^2=-1+1\cdot\sqrt2$, čiže pre tento prvok neplatí podmienka na rovnosť $a_0+a_1x+\dots +a_nx^n=b_0+b_1x+\dots +b_nx^n$ práve vtedy, keď $a_0=b_0,\dots,a_n=b_n$, ale že napríklad $\pi$ alebo $e$ by mohli "poslúžiť" ako $x$ nad $\mathbb Z$ anebo nad $\mathbb Q$).
Definovali sme stupeň polynómu $\mathrm{st}\,p$, $\mathrm{st}(p)$.
Ak je $R$ obor integrity, aj $R[x]$ je obor integrity (v skutočnosti je to ekvivalentné). Ak je $R$ obor integrity a $f,g\in R[x]$ sú nenulové, tak $\mathrm{st}(f\cdot g)=\mathrm{st}(f)+\mathrm{st}(g)$.

Delenie polynómov nad poľom. Veta o delení polynómov so zvyškom v okruhu $F[x]$, t.j. ak sú dané polynómy s koeficientami z nejakého poľa $F$.
Veta o delení so zvyškom pre celé čísla.

Domáca úloha je zverejnená tu.
Je uverejnený aj text ku prednáške, ktorý viac reflektuje nové sylaby, je to tu.

V týždni 2. mája - 5. mája budú na cvičeniach písomky.

Ešte by som rád pripomenul, že vzhľadom na to, že veľa pondelkov sú štátne sviatky (veľká noc a 2 májové termíny), vedenie sa rozhodlo, že pondelky 1. a 8. mája sa môžu nahradiť v rámci pondelka a utorka 15. a 16.5 - predpokladám, že využijeme obidva tie termíny na kombinované prednášky-cvičenia. Určite aspoň jeden.