Úloha 6.2 - Symetrická a ortogonálna matica

[Andrej Ravinger]

Úloha 6.2.
Nájdite ortogonálnu maticu $P$ takú, že $PAP^T=D$ je diagonálna matica.
$A=\begin{pmatrix}2&1&-2\\1&2&-2\\-2&-2&5\end{pmatrix}$

Hľadáme $ch_A(x)$:
$\begin{vmatrix}
2-x & 1 & -2 \\
1 & 2-x & -2\\
-2 & -2 & 5-x
\end{vmatrix}
=^1 \begin{vmatrix}
1-x & -(1-x) & 0 \\
1 & 2-x & -2\\
-2 & -2 & 5-x
\end{vmatrix}
=(1-x)\begin{vmatrix}
1 & -1 & 0 \\
1 & 2-x & -2\\
-2 & -2 & 5-x
\end{vmatrix}
=^2(1-x)\begin{vmatrix}
0 & -1 & 0 \\
3-x & 2-x & -2\\
-4 & -2 & 5-x
\end{vmatrix}$
$=(1-x)\begin{vmatrix}
3-x & -2\\
-4 & 5-x
\end{vmatrix}
=(1-x)((3-x)(5-x)-8)=(1-x)(x^2-8x+7)=(1-x)^2(7-x)
$

1. 1r-=2r
2. 1s+=2s

Vlastné čísla sú 7 a 1, nájdeme k nim vlastné vektory.
$\vec\alpha$ ku 7:
$\begin{pmatrix}
2-7 & 1 & -2 \\
1 & 2-7 & -2\\
-2 & -2 & 5-7
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
-5 & 1 & -2 \\
1 & -5 & -2\\
-2 & -2 & -2
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\over2 \\
0 & 1 & 1\over2\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$
Riešením je $[(\frac{-1}{2},\frac{-1}{2},-2)]=[(1,1,-2)]$, teda $\vec\alpha=(1,1,-2)$. Normalizovaný bude $\frac{1}{\sqrt{6}} \vec\alpha$
Hľadáme vlastné vektory $\vec\beta,\vec\gamma$ ku 1:
$\begin{pmatrix}
1 & 1 & -2 \\
1 & 1& -2\\
-2 & -2 & 4
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 1 & -2 \\
0 & 0& 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$
Riešením sú $[(-1,1,0),(2,0,1)]$, ale my chceme ortogonálnu bázu. Zoberieme $\vec\beta=(-1,1,0)$. Vieme, že $\vec\alpha$ je ortogonálny na $[(-1,1,0),(2,0,1)]$.
$\vec\gamma$ nájdeme riešením sústavy:
$\begin{pmatrix}
1 & 1 & -2 \\
-1 & 1& 0
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 \\
0 & 1& -1
\end{pmatrix}
$
Odtiaľ máme $\vec\gamma=(1,1,1)$, normalizované sú $\frac{1}{\sqrt{2}} \vec\beta$ a $\frac{1}{\sqrt{3}} \vec\gamma$.

Pre diagonálnu maticu $D =\begin{pmatrix}
7& 0& 0 \\
0 & 1& 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$ máme $P = \begin{pmatrix}
1\over\sqrt{6} & -1\over\sqrt{2} &1\over\sqrt{3}\\
1\over\sqrt{6} &1\over\sqrt{2}& 1\over\sqrt{3}\\
-2\over\sqrt{6} & 0 & 1\over\sqrt{3}
\end{pmatrix}$

Overíme cez Wolphram Alpha: https://www.wolframalpha.com/input?i2d= ... D%5D%7D%7D

Oprava: Zle som prečítal zadanie, našiel som takú maticu $P$, pre ktorú platí $PDP^T=PDP^{-1}=A$. Matica ktorú chceme je $P^T$.

[Martin Sleziak]

Riešenie je v poriadku, značím si 1 bod.

Pridám aj linku na Symbolab s overením toho istého výpočtu; t.j. s kontrolou $PDP^T=D$

Oprava: Zle som prečítal zadanie, našiel som takú maticu $P$, pre ktorú platí $PDP^T=PDP^{-1}=A$. Matica ktorú chceme je $P^T$.

Inak povedané, rozdiel je vlastne len v tom, že by sme vlastné vektory poukladali do matice ako riadky (nie ako stĺpce).