Písomka 25. 10. 2023

[jaroslav.gurican]

Písomka bude o 18.10 v F1

Témy:
Zobrazenia - injektívnosť, surjektívnosť, bijektívnosť, inverzné zobrazenia, ľavé a pravé inverzné zobrazenia (napr., ak existujú, nájsť dve ľavé inverzné zobrazenia ku danému zobrazeniu,...), skladanie zobrazení

Grupy - overenie, či je daná množina s danou binárnou operáciou grupa (často treba overiť aj, či je zadaním naozaj "určená" binárna operácia na danej množine), overiť či nejaká (jednoduchá) vlastnosť v grupách platí (prípadne nájsť kontrapríklad)

Polia, vektorové priestory, podpriestory vektorových priestory - hlavne overiť, či je "štruktúra" zo zadania daného typu alebo nie (t.j. či je pole, vekt. priestor, podpriestor daného vekt. priestoru, podľa zadania)

Pri riešeniach môžete využiť fakt, že $(\mathbb C,+,\cdot)$, $(\mathbb R,+,\cdot)$, $(\mathbb Q,+,\cdot)$ o štandartnými operáciami sčítania a násobenia sú polia.

Riešenia

Úloha 1
Riešenie:
a) prvé riešenie: $f$ je bijekcia práve vtedy, keď k nemu existuje inverzné zobrazenie (dokazovali sme takú vetu). Položme $g=f\circ f$. Potom $f\circ g=f\circ(f\circ f)=f^3=id_{X}$ a tiež $g\circ f=(f\circ f)\circ f=f^3=id_{X}$, čiže $g$ je inverzné zobrazenie ku $f$. Preto je $f$ bijekcia.

druhé riešenie: použijeme definíciu - zobrazenie je bijektívne práve vtedy, keď je injektívne a surjektívne. Overíme tieto dve vlastnosti pre $f\colon X\to X$.

Surjektívnosť $f$: nech $b\in X$. Potrebujeme nájsť $a\in X$ také, že $f(a)=b$. Položme $a=f\circ f(b)$. Potom $f(a)=f(f\circ f(b))=f^3(b)=id_{X}(b)=b$. Teda $f$ je surjektívne. (porovnajte aj s úlohou 2.2.1 a faktom, že $id_{X}=f^3(b)=\mathbf{f}\circ(f\circ f)$ je surjecia. Tučným $f$ je zvýrazná tá "inštancia", ktorá podľa 2.2.1. musí byť surjekcia.)

Injektívnosť $f$: Vieme, že $f^3=id_{X}$ je injektívne. Dokážeme obmenu: ak $f$ nie je injektívne, tak $f^3$ nie je injektívne (čiže ak $f^3$ je injektívne, tak $f$ je injektívne).

Nech $f$ nie je injektívne, $a,b\in X$ sú také, že $a\ne b$ a $f(a)=f(b)=c$. Potom $(f\circ f)(f(a))=(f\circ f)(c)=(f\circ f)(f(b))$, t.j. $f^3(a)=f^3(b)$, čiže $f^3$ nie je injektívne. (porovnajte aj s úlohou 2.2.2 a faktom, že $id_{X}=f^3(b)=(f\circ f)\circ \mathbf{f}$ je injekcia. Tučným $f$ je zvýrazná tá "inštancia", ktorá podľa 2.2.2. musí byť injekcia.)

b) stačí zvoliť $X=\{1,2,3\}$ zobrazenie $f\colon X\to X$ také, že $f(1)=2, f(2)=3, f(3)=1$. Očividne $f\ne id_{X}$.
Ďalej $f^3(1)=f(f(f(1)))=f(f(2))=f(3)=1$, $f^3(2)=f(f(f(2)))=f(f(3))=f(1)=2$, $f^3(3)=f(f(f(3)))=f(f(1))=f(2)=3$, teda $f^3=id_{X}$.

Úloha 2
Riešenie: pre reálne čísla $a,b\ne 0$ je $ab\ne 0$ a aj $2ab\ne 0$, preto je $\star$ binárna operácia na $\mathbb R \setminus \{0\}$.

Asociativita: pre $a,b,c\in \mathbb R \setminus \{0\}$ je
$$
a\star(b\star c)=a\star(2bc)=2a(2bc)=4abc
$$
Podobne
$$
(a\star b)\star c=(2ab)\star c=2(2ab)c=4abc
$$
Porovnanim týchto výsledkov vidíme, že pre všetky $a,b,c\in \mathbb R \setminus \{0\}$ platí $a\star(b\star c)=(a\star b)\star c$, t.j. $\star$ je asociatívna na $a,b,c\in \mathbb R \setminus \{0\}$ (dokonca by bola asociatívna aj na $\mathbb R$).

Pred hľadaním neutrálneho a inverzného prvku zistime, či je operácia $\star$ komutatívna (ak je, zjednoduší to hľadanie NP a inverzných prvkov).

Pre $a,b\in \mathbb R \setminus \{0\}$ platí: $a\star b=2ab=2ba=b\star a$. Teda $\star$ je komutatívna na $\mathbb R \setminus \{0\}$ (dokonca by bola komutatívna aj na $\mathbb R$).

Hľadajme neutrálny prvok: máme nájsť $x$ také, že pre všetky $a\in \mathbb R \setminus \{0\}$ platí $x\star a=a$, t.j. $2xa=a$. Vidieť, že $x=\frac12$ je riešením pre ľubovoľné $a\in \mathbb R \setminus \{0\}$, naviac $\frac12\in \mathbb R \setminus \{0\}$, preto je $\frac12$ (vďaka komutativite) neutrálny prvok operácie $\star$ na $\mathbb R \setminus \{0\}$. (môžeme to aj overiť: $\frac12\star a=2\cdot \frac12\cdot a=a$) Môžeme teda označiť, že $e=\frac12$.

Pre dané $a\in \mathbb R \setminus \{0\}$ hľadajme inverzný prvok: pre $a\in \mathbb R \setminus \{0\}$ máme nájsť $x$ také, že platí $x\star a=\frac12$, t.j. $2xa=\frac12$. Vidieť, že $x=\frac{1}{4a}$ je riešením, ak $a\in \mathbb R \setminus \{0\}$ tak $\frac{1}{4a}\in \mathbb R \setminus \{0\}$ a naozaj $\frac{1}{4a}\star a =2\cdot\frac{1}{4a}\cdot a=\frac12$, t.j. je to hľadaný inverzný prvok ku $a\in \mathbb R \setminus \{0\}$.

Preto $(\mathbb R \setminus \{0\},\star)$ je grupa. Komutatívnosť sme už tiež overili, je to teda komutatívna grupa.


Úloha 3
Riešenie: nech $\vec{\alpha}=(1,0,1)$, $\vec{\beta}=(1,0,-1)$. Očividne $\vec{\alpha},\vec{\beta}\in M$, ale $\vec{\alpha}+\vec{\beta}=(2,0,0)\notin M$.
Takže $M$ nespĺňa jednu z podmienok, ktorá je potrebná, aby $M$ bol podpriestor vektorového priestoru. Čiže $M$ nie je podpriestor vektorového priestoru $\mathbb R^3$.