Transcendentných (iracionálnych, neskonštruovateľných) čísel je $\mathfrak c$

[Martin Sleziak]

Keďže takáto otázka padla po prednáške, tak k nej stručne niečo napíšem.$\newcommand{\alnul}{\aleph_0}\newcommand{\mfr}[1]{\mathfrak{#1}}\newcommand{\abs}[1]{|#1|}$

Ukázali sme, že množina algebraických čísel $\mathbb A$ má kardinalitu $\alnul$ a spomenuli sme, že z toho vidíme, že určite $\mathbb R\setminus\mathbb A\ne\emptyset$, t.j. existuje nejaké reálne číslo, ktoré nie je algebraické.

S trochou námahy vieme ukázať aj $$\abs{\mathbb R\setminus\mathbb A}=\mfr c=\mathbb R,$$
t.j. vypočítať aká je kardinalita množiny všetkých transcendentných čísel.

Najprv si uvedomme, že $\abs{\mathbb R\setminus\mathbb A}\ge\alnul$. Ak totiž máme nejaké transcendentné číslo $a$, tak aj $a+z$ bude transcendentné pre každé $z\in\mathbb Z$. Teda táto množina obsahuje aspoň $\abs{\mathbb Z}=\alnul$ čísel.

Na prednáške sme kedysi ukázali, že pre $a\ge\alnul$ platí $a+\alnul=a$. Ak použijeme tento fakt, tak vďaka nerovnosti $\abs{\mathbb R\setminus\mathbb A}\ge\alnul$ dostaneme
\begin{align*}
\abs{\mathbb R}
&=\abs{\mathbb R\setminus\mathbb A}+\abs{\mathbb A}\\
&=\abs{\mathbb R\setminus\mathbb A}+\alnul\\
&=\abs{\mathbb R\setminus\mathbb A}
\end{align*}

Vidíme teda, že transcendentných čísel je (v zmysle kardinality) rovnako veľa ako všetkých reálnych čísel. (A teda ich je oveľa viac ako algebraických čísel.)

Takmer bez zmeny môžeme takýto argument zopakovať ak namiesto množiny $\mathbb A$ zoberieme množinu racionálnych čísel alebo množinu skonštruovateľných čísel. V oboch prípadoch ide o množinu kardinality $\alnul$, ktorá sa nezmení pri posunutí o celé číslo.