Prednášky ZS 2023/24 - všeobecná topológia (2-MAT-211)

[Martin Sleziak]

Chceme prejsť iba niektoré témy (najmä konvergenciu a súvisiace veci).

Literatúra: viewtopic.php?t=1573
Tu sa dá pozrieť, čo sme na tomto predmete stihli minule:
viewtopic.php?t=1884
viewtopic.php?t=1712
K niektorým častiam sú k dispozícii aj nejaké videá: viewtopic.php?t=1588

Stránky: https://msleziak.com/vyuka/2023/vstop/ a https://msleziak.com/vyuka/2022/vstop/
(Na vlaňajšej sú aj slajdy.)

[Martin Sleziak]

1. prednáška: (17.10.)
Budeme sa zaoberať konvergenciou v topologických priestoroch - dostaneme sa ku sieťam a filtrom.
Pre metrické priestory platí:
* Uzávery množiny = limity postupností. (Teda konvergencia postupností úplne určuje topológiu.)
* Kompaktnosť sa dá charakterizovať pomocou konvergentných podpostupností.
* Spojitosť je to isté ako sekvenciálna spojitosť.
Vo všeobecnosti tieto tvrdenia už v topologických priestoroch neplatia - ale ukážeme si, že keď vhodne zovšeobecníme pojem konvergencie postupnosti, tak už dostaneme analogické tvrdenia aj v topologických priestoroch.
Konvergencia postupností$\newcommand{\R}{\mathbb R}$
Limita postupnosti. Definícia limity postupnosti, príklady, jednoznačnosť v hausdorffovských priestoroch. (A nejaké poznámky k označeniu súvisiace s tým, že postupnosť môže mať vo všeobecnosti viac než jednu limitu.)
Postupnosti a uzavretosť. Limita postupnosti prvkov z $A$ patrí do $\overline A$, uzavretá množina je sekvenciálne uzavretá. V priestoroch s prvou axiómou spočítateľnosti platí obrátená implikácia v oboch týchto tvrdeniach. (A neskôr sa dostaneme k tomu, že pre ak postupnosti nahradíme sieťami, tak už budeme mať ekvivalenciu v ľubovoľnom topologickom priestore.)
Tieto podmienky vlastne popisujú Fréchetove-Urysohnove a sekvenciálne priestory - aj keď my sa týmito triedami priestorov nebudeme zaoberať.
Spojitosť a sekvenciálna spojitosť. Spojité zobrazenie je sekvenciálne spojité, obrátená implikácia platí v priestoroch spĺňajúcich prvú axiómu spočítateľnosti.
Kontrapríklady. Ukázali sme, že vo všeobecnosti neplatia tvrdenia, ktoré sme dostali pre priestory vyhovujúce prvej axióme spočítateľnosti.
Jeden taký kontrapríklad je $\{0,1\}^{\R}$ (Cantorova kocka). Tento kontrapríklad má aj tú výhodu, že je to kompaktný priestor.
Iný kontrapríklad je je priestor $\omega_1+1$, t.j. všetky ordinály od nuly až po prvý nespočítateľný ordinál (vrátane) s topológiou určenou usporiadaním. (Tento druhý kontrapríklad sme nerobili.)

[Martin Sleziak]

2. prednáška: (24.10.)
Postupnosti a priestor $C(\omega)$. Konvergencia postupnosti je to isté, ako spojitosť $\overline x\colon C(\omega) \to X$.
Hromadné body a podpostupnosti. Toto som preskočil - spomeniem pri sieťach.
Konvergencia sietí
Definícia nahor usmernenej množiny. Definícia siete a limity siete.
Ako príklady sietí sme spomenuli postupnosti a aj sieť $(x_U)_{U\in\mathcal B_a}$. (Podobné siete sa viackrát vyskytnú v nejakých dôkazoch.)
Rozmysleli sme si, že ak $(D,\le)$ má maximálny prvok, tak $x_d\to a$ $\Leftrightarrow$ $a\in\overline{\{x_M\}}$. (A pri tom sme sa pozreli na to, že v definície siete chceme $d\ge d_0$ a nie $d>d_0$; na rozdiel od postupností, tu už by sme takto dostali dve neekvivalentné definície.)
Charakterizácia uzáveru a uzavretej množiny pomocou sietí. (Limity sietí jednoznačne určujú topológiu.)
Limita siete a subbáza.
Jednoznačnosť limity - charakterizácia hausdorffovských priestorov pomocou sietí. (Dokázať sme stihli len jednu implikáciu - tú ľahšiu.)

[Martin Sleziak]

3. prednáška: (31.10.)
Konvergencia sietí
Jednoznačnosť limity - charakterizácia hausdorffovských priestorov pomocou sietí (druhá implikácia).
Siete a priestor $C(D)$. (Explicitne spomeniem, že pri prvom stretnutí so sieťami vôbec nie je na škodu si premyslieť aj priamo z definície niektoré veci, ktoré sme na prednáške dokázali pomocou spojitosti zobrazenia $\overline x\colon C(D)\to X$.)
Charakterizácia spojitosti pomocou sietí.
Konvergencia v topologickom súčine je bodová konvergencia. (Podobné tvrdenie sa dá ukázať všeobecnejšie pre iniciálnu topológiu. Na konci hodiny sme spomenuli aspoň základné fakty o iniciálnej topológii.)

[Martin Sleziak]

4. prednáška: (7.11.)
Podsiete.
Definícia podsiete, súvis s priestorom $C(D)$.
Ak $x_d\to a$, tak aj každá podsieť konverguje k $a$
Hromadné body siete - definícia a charakterizácia hromadných bodov ako limít podsietí.
Množina hromadných bodov sa dá vyjadriť ako $\bigcap\limits_{d\in D}\overline{\{x_e; e\in D, e\ge d\}}.$ (A teda je to uzavretá množina. Túto vec som len povedal bez dôkazu.)
Podsieť postupnosti nemusí byť postupnosť. (Ako jednoduché príklady sme si ukázali, že to môžu byť napríklad siete na $\omega_1+\omega$ alebo $\mathbb N\times\mathbb N$.)

Filtre a ultrafiltre
Základné fakty o filtroch.
Definícia filtra. Príklady: Kofinitný filter, filter okolí bodu.
Báza filtra - definícia a ako vyzerá zodpovedajúci filter. Báza filtra odvodená od nahor usmernenej množiny. (A aj báza filtra s usporiadaním obrátenou inklúziou tvorí nahor usmernenú množinu.)
Ultrafitre.
Definícia ultrafiltra. Ultrafilter = maximálny filter (vzhľadom na inklúziu).
Hlavný ultrafilter. Voľný filter.
Centrovaný systém. Každý centrovaný systém je obsiahnutý v nejakom ultrafiltri. (Tzv. ultrafilter lemma. Z toho dostaneme existenciu voľných ultrafiltrov.
(Bez dôkazu - už ste to stretli na inom predmete. Dôkaz sa robí pomocou Zornovej lemy. Viacero ďalších vecí, ktoré sa dajú ukázať pomocou Zornovej lemy, je vymenovaných tu: viewtopic.php?t=620.)

[Martin Sleziak]

5. prednáška: (14.11.)$\newcommand{\FF}{\mathcal F}\newcommand{\Flim}{\operatorname{\FF-lim}}$
$\mathcal F$-limita.
Zadefinovali sme $\mathcal F$-limitu. (Najprv všeobecne pre funkciu $f\colon M\to X$ a potom sme sa pozreli na postupnosti, aby sme videli analógiu s obvyklou definíciou limity postupnosti.)
Niektoré jednoduché vlastnosti - čo sa stane ak vezmeme jemnejší filter, v definícii stačí zobrať množiny zo subbázy.
Zadefinovali sme priestor $C(\mathcal F)$ a ukázali sme si, ako súvisí $\mathcal F$-limita funkcie $f$ so spojitosťou zobrazenie $\overline f\colon C(\mathcal F)\to X$.
Špeciálne prípady: Limita siete. Limity $x\to a$, $x\to a^+$, $x\to\infty$ pre reálne funkcie. (Zadefinovali sme aj limitu v bode pre funkcie medzi topologickými priestormi.)
Spomenuli sme si, že ak by sme pracovali s funkciami $M\to\mathbb R$, tak platia podobné veci ako pre obvyklú limitu (súčet a súčin limít, nerovnosť).
Konvergencia filtrov
Definícia limity filtra na $X$, vzťah s F-limitou. (Je to špeciálny prípad F-limity ak $f=id_X$. Súčasne platí: $a\in \Flim f$ $\Leftrightarrow$ $f_*[\mathcal F]\to a$.)
Popis uzáveru, spojitosti, hausdorffovskosti pomocou filtrov.

[Martin Sleziak]

6. prednáška: (21.11.)$\newcommand{\FF}{\mathcal F}\newcommand{\Flim}{\operatorname{\FF-lim}}\newcommand{\GG}{\mathcal G}$
$\FF$-limita a Konvergencia filtrov
V definícii $\FF$-limity stačí brať množiny zo subbázy. Iniciálna (súčinová) topológia a konvergencia filtrov.
Hromadné body. Hromadný bod filtra - definícia a základné vlastnosti, konkrétne:
* Ak $\FF\subseteq\GG$, tak každý hromadný bod filtra $\GG$ je aj hromadný bod filtra $\FF$.
* Limita filtra je aj hromadný bod.
* Hromadný bod ultrafiltra je súčasne jeho limitou.
* Bod $a$ je hromadný bod filtra $\FF$ p.v.k. existuje (ultra)filter $\GG\supseteq\FF$ taký, že $\GG\to a$.
Kompaktné priestory.
Pripomenuli sme definíciu kompaktného priestoru
Charakterizácia pomocou centrovaného systému.
Flltre, ultrafiltre a kompaktnosť.
Ak každý filter na $X$ má hromadný bod, tak $X$ je kompaktný priestor.
V kompaktnom priestore pre každý ultrafilter existuje $\mathcal U$-limita.

[Martin Sleziak]

7. prednáška: (28.11.)$\newcommand{\FF}{\mathcal F}\newcommand{\Flim}{\operatorname{\FF-lim}}\newcommand{\GG}{\mathcal G}$
Ekvivalentné charakterizácie kompaktnosti pomocou konvergencie ultrafiltrov a existencie hromadných bodov filtrov.
Ekvivalentné charakterizácie kompaktnosti pomocou hromadných bodov sietí (a konvergentných podsietí).
Tichonovova veta. Pomocou dokázaných výsledkov o vzťahu medzi kompaktnosťou a U-limitou sme už vedeli spraviť "jednoriadkový" dôkaz Tichonovovej vety.
Ako dôsledky Tichonovovej vety (a ďalších vecí, ktoré vieme o kompaktných $T_2$ priestoroch a úplne regulárnych priestoroch) dostaneme: Každý kompaktný hausdorffovský priestor je homeomorfný s uzavretýmm podpriestorom nejakej Tichonovovej kocky. (A táto vlastnosť charakterizuje kompaktné hausdorffovské priestory.) Tichonovovské priestory sú presne tie priestory, ktoré sú podpriestormi kompaktných $T_2$-priestorov.
Integrál ako limita integrálnych súčtov. Riemannov integrál ako príklad limity siete - množinu všetkých delení intervalu môžeme zobrať ako nahor usmernenú množinu. Potom Riemannove resp. Darbouxove sumy dávajú sieť na tejto nahor usmernenej množine a integrál sa dá definovať ako limita tejto siete.
Iný príklad, kde sa dajú použiť siete, je definícia súčtu pre ľubovoľnú indexovú množinu (vrátane nespočítateľnej): viewtopic.php?t=1906

[Martin Sleziak]

8. prednáška: (12.12.)
Aplikácie kompaktnosti.
Slabá*-topológia, Banach-Alaogluova veta.
Rozšírenia limity. Ukázali sme existenciu funkcionálu z $\ell_\infty^*$, ktorý rozširuje limitu a je multiplikatívny. Ukázali sme existenciu funkcionálu z $\ell_\infty^*$, ktorý rozširuje limitu a je invariantný na posun. (Súčasne dostávame, že $\ell_\infty^*\ne\ell_1$.)