Inverzná matica $3\times3$ s parametrom

[Martin Sleziak]

$\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}$
Zistite pre aké hodnoty parametra $a\in\mathbb R$ existuje inverzná matica $\inv A$ a pre tieto hodnoty ju aj vypočítajte.
$$A=
\begin{pmatrix}
1 & a & 3 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & a
\end{pmatrix}
$$

Výsledok je $$\inv A=
\begin{pmatrix}
\frac2{(a+2)(a-2)} & \frac{a^2-6}{(a+2)(a-2)} &-\frac{a}{(a+2)(a-2)} \\
\frac{a}{(a+2)(a-2)} &-\frac{a}{(a+2)(a-2)} &-\frac2{(a+2)(a-2)} \\
-\frac2{(a+2)(a-2)} & \frac2{(a+2)(a-2)} & \frac{a}{(a+2)(a-2)}
\end{pmatrix}=
\frac1{(a+2)(a-2)}\begin{pmatrix}
2 & a^2-6 &-a \\
a &-a &-2 \\
-2 & 2 & a
\end{pmatrix}.$$
Táto rovnosť platí pre $a\in\mathbb R\setminus\{\pm2\}$, pre $a=\pm2$ je daná matica singulárna, a teda inverzná matica neexistuje.

Vynásobením sa dá pomerne ľahko skontrolovať, či to je správny výsledok; stačí vyskúšať, či súčin je naozaj jednotková matica.

Spoiler:

\begin{align*}
\frac1{(a+2)(a-2)}\begin{pmatrix}
2 & a^2-6 &-a \\
a &-a &-2 \\
-2 & 2 & a
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & a & 3 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & a
\end{pmatrix}
&=\frac1{(a+2)(a-2)}
\begin{pmatrix}
a^2-4& 0 & 0 \\
0 &a^2-4& 0 \\
0 & 0 &a^2-4
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\\
\frac1{(a+2)(a-2)}
\begin{pmatrix}
1 & a & 3 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & a
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 & a^2-6 &-a \\
a &-a &-2 \\
-2 & 2 & a
\end{pmatrix}
&=\frac1{(a+2)(a-2)}
\begin{pmatrix}
a^2-4& 0 & 0 \\
0 &a^2-4& 0 \\
0 & 0 &a^2-4
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{align*}

V akej podobe som očakával výsledok: Malo by tam byť jasne povedané, pre ktoré hodnoty parametra $a$ existuje inverzná matica a pre ktoré nie. A súčasne by tam mal byť napísaný tvar matice $\inv A$ pre každú prípustnú hodnotu $a$; t.j. nestačí iba vyskúšať niekoľko náhodných možností pre $a$-čko.

[Martin Sleziak]

Budem tu riešiť iba prípad, keď $a$ nie $\pm2$; pričom sú vyznačené kroky, ktoré fungujú iba pre $a\ne\pm2.$ Nechám na rozmyslenie pre vás, aby ste skontrolovali, že pre $a\in\{\pm2\}$ je daná matica skutočne singulárna.$\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}$

Úloha sa dá riešiť štandardným postupom akým sme sa naučili hľadať inverzné matice - iba si treba dať pozor na to, ktoré kroky sú legitímne iba pre niektoré hodnoty parametra. (Konkrétne ak sme niekde delili výrazom obsahujúcim parameter, tak si treba dať pozor, či nedelíme nulou.)

$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & a & 3 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 2 & a & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & a & 2 & 1 &-1 & 0 \\
0 & 2 & a & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & a & 2 & 1 &-1 & 0 \\
0 &a+2&a+2& 1 & -1 & 1
\end{array}\right)\overset{a\ne-2}\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & \frac1{a+2} &-\frac1{a+2} & \frac1{a+2} \\
0 & a & 2 & 1 &-1 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & \frac1{a+2} &-\frac1{a+2} & \frac1{a+2} \\
0 & 0 &2-a & \frac2{a+2} &-\frac2{a+2} &-\frac{a}{a+2}
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & \frac1{a+2} &-\frac1{a+2} & \frac1{a+2} \\
0 & 0 &2-a & \frac2{a+2} &-\frac2{a+2} &-\frac{a}{a+2}
\end{array}\right)\overset{a\ne2}\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & \frac1{a+2} &-\frac1{a+2} & \frac1{a+2} \\
0 & 0 & 1 &-\frac2{(a+2)(a-2)} & \frac2{(a+2)(a-2)} & \frac{a}{(a+2)(a-2)}
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & \frac2{(a+2)(a-2)} & \frac{a^2-6}{(a+2)(a-2)} &-\frac{a}{(a+2)(a-2)} \\
0 & 1 & 0 & \frac{a}{(a+2)(a-2)} &-\frac{a}{(a+2)(a-2)} &-\frac2{(a+2)(a-2)} \\
0 & 0 & 1 &-\frac2{(a+2)(a-2)} & \frac2{(a+2)(a-2)} & \frac{a}{(a+2)(a-2)}
\end{array}\right)
$

V postupe sú vyznačené kroky, v ktorých sme delili výrazom $a+2$ resp. $a-2$; uvedený postup je v poriadku pre $a\ne\pm2$.

Matica, ktorú sme dostali v pravej časti, je matica $\inv A$.

[Martin Sleziak]

Pretože $3\times3$ je pomerne malý rozmer, môžeme vyskúšať aj vyjadrenie inverznej matice pomocou determinantu.$\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}$

$$\det{A}=
\begin{vmatrix}
1 & a & 3 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & a
\end{vmatrix}=6-2-a^2=4-a^2$$

Vieme, že matica je regulárna práve vtedy keď má nenulový determinant.
Teda vidíme, že inverzná matica existuje p.v.k. $4-a^2\ne0$, t.j. $a\ne\pm2$.

\begin{align*}
A_{11}&=
\begin{vmatrix}
0 & 1 \\
2 & a \\
\end{vmatrix}=-2\\
A_{12}&=-
\begin{vmatrix}
1 & 1 \\
0 & a \\
\end{vmatrix}=-a\\
A_{13}&=
\begin{vmatrix}
1 & 0 \\
0 & 2 \\
\end{vmatrix}=2\\
A_{21}&=
-\begin{vmatrix}
a & 3 \\
2 & a \\
\end{vmatrix}=6-a^2\\
A_{22}&=
\begin{vmatrix}
1 & 3 \\
0 & a \\
\end{vmatrix}=a\\
A_{23}&=
-\begin{vmatrix}
1 & a \\
0 & 2 \\
\end{vmatrix}=-2\\
A_{31}&=
\begin{vmatrix}
a & 3 \\
0 & 1 \\
\end{vmatrix}=a\\
A_{32}&=
-\begin{vmatrix}
1 & 3 \\
1 & 1 \\
\end{vmatrix}=2\\
A_{33}&=
\begin{vmatrix}
1 & a \\
1 & 0 \\
\end{vmatrix}=-a
\end{align*}
Dostaneme teda:
$$\inv A=\frac1{\det(A)}
\begin{pmatrix}
A_{11} & A_{21} & A_{31} \\
A_{12} & A_{22} & A_{32} \\
A_{12} & A_{22} & A_{33}
\end{pmatrix}=
\frac1{4-a^2}
\begin{pmatrix}
-2 &6-a^2& a \\
-a & a & 2 \\
2 & -2 &-a
\end{pmatrix}
$$