Počet injektívnych lineárnych zobrazení

[Martin Sleziak]

Aký je počet$\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon #2\to #3}\newcommand{\Z}{\mathbb Z}$
a) injektívnych
b) surjektívnych
lineárnych zobrazení $\Zobr f{\Z_5^3}{\Z_5^4}$, ktoré spĺňajú
\begin{align*}
f(1,0,3)&=(1,2,1,0)\\
f(0,2,4)&=(0,3,1,1)\\
f(2,3,2)&=(2,1,1,4)
\end{align*}
V časti a) aj v časti b) uveďte maticu aspoň jedného takého zobrazenia. (Alebo zdôvodnite, že také zobrazenie neexistuje.)

Časť b) je úplne zadarmo -- neexistuje surjektívne lineárne zobrazenie z priestoru dimenzie 3 do priestoru dimenzie 4.

Takže sa poďme zaoberať už iba hľadaním lineárnych zobrazení (a špeciálne injektívnych lineárnych zobrazení), ktoré vyhovujú uvedeným podmienkam.

Máme pre nejaké tri vektory zadané ich obrazy. T.j. máme dané $f(\vec x_1)=\vec y_1$, $f(\vec x_2)=\vec y_2$ a $f(\vec x_3)=\vec y_3$.
Ak by tieto tri vektory tvorili bázu priestoru $\Z_5^3$, tak je týmito podmienkami lineárne zobrazenie $f$ jednoznačne určené.

Tieto vektory sú však lineárne závislé. Na to prídeme aj pri počítaní matice zobrazenia štandardným postupom.
Ale pretože tieto vektory sú veľmi jednoduché, tak sa dá asi aj zbadať, že napríklad platí
\begin{align*}
2\vec x_1-\vec x_2&=\vec x_3\\
\vec x_2+\vec x_3&=2\vec x_1
\end{align*}
(Prepísal som ten istý vzťah dvomi spôsobmi - môžete si vybrať, ktorý sa vám prekontroluje ľahšie.)

Samozrejme, ak $f$ je lineárne, tak musí platiť aj $2f(\vec x_1)-f(\vec x_2)=f(\vec x_3)$, t.j. $2\vec y_1-\vec y_2=\vec y_3$.
Ľahko skontrolujeme, že pre zadané vektory takáto rovnosť platí. (Ak by to tak nebolo, mohli by sme na tomto mieste skončiť - odpoveď by bola, že neexistuje žiadne lineárne zobrazenie vyhovujúce podmienkam zo zadania.)

[Martin Sleziak]

Sme teda v situácii, že máme dva lineárne nezávislé vektory a pre ne máme zadané ich obrazy: $f(\vec x_1)=\vec y_1$, $f(\vec x_2)=\vec y_2$.
Súčasne si všimnime, že obrazy $\vec y_{1,2}$ sú tiež lineárne nezávislé. (Ak by to tak nebolo, tak neexistuje takéto lineárne zobrazenie, ktoré by bolo injektívne.)

Vieme, že vektory $\vec x_1,\vec x_2$ sa dajú doplniť na bázu pridaním jedného vektora. Ak si zvolíme obraz pre tento tretí vektor, tak tým už je jednoznačne určené lineárne zobrazenie $f$. (To vieme zo základnej vety o lineárnych zobrazeniach.)
Všetkých možností ako vybrať obraz tretieho vektora je $5^4$. Teda máme $5^4$ lineárnych zobrazení.

My ale chceme vedieť, koľko z nich bude injektívnych.
T.j. chceme aby obrazy bázových vektorov boli lineárne nezávislé.
Tretí vektor teda chceme zvoliť tak, aby nepatril do $[\vec y_1,\vec y_2]$.
V tejto množine sú vektory tvaru $c_1\vec y_1+c_2\vec y_2$. Máme $5^2$ možností pre voľbu koeficientov $c_1$ a $c_2$. Pretože $\vec y_1$ a $\vec y_2$ sú lineárne nezávislé, každá takáto voľba dá iný vektor.

Zostalo nám teda $5^4-5^2$ rôznych možností ako zvoliť obraz tretieho vektora. (A teda toto číslo nám určuje aj počet zobrazení vyhovujúcich zadaným podmienkam.)

[Martin Sleziak]

Ešte je súčasťou zadania aj nájsť aspoň jeden konkrétny príklad takéhoto zobrazenia.

Štandardným postupom vieme prepísať zadané podmienky tak, aby sa nám matica zobrazenia hľadala ľahšie.

$\left(\begin{array}{ccc|cccc}
1 & 0 & 3 & 1 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 4 & 0 & 3 & 1 & 1 \\
2 & 3 & 2 & 2 & 1 & 4 & 4
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|cccc}
1 & 0 & 3 & 1 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 0 & 4 & 3 & 3 \\
1 & 4 & 1 & 1 & 3 & 2 & 2
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|cccc}
1 & 0 & 3 & 1 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 0 & 4 & 3 & 3 \\
0 & 4 & 3 & 0 & 1 & 1 & 2
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|cccc}
1 & 0 & 3 & 1 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 0 & 4 & 3 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
$

Vektory naľavo môžeme doplniť na bázu napríklad vektorom $(0,0,1)$.
Dva lineárne nezávislé vektory naľavo viem doplniť na bázu napríklad vektorom $(0,0,1)$. Stačí $f(0,0,1)$ zvoliť tak, aby to nebola lineárna kombinácia dvoch vektorov, ktoré vyšli vpravo. T.j. nesmie patriť do $[(1,2,1,0),(0,4,3,3)]=[(1,0,2,1),(0,1,2,2)]$.
Zvoľme si teda napríklad vektor $(0,0,0,1)$.
$\left(\begin{array}{ccc|cccc}
1 & 0 & 3 & 1 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 0 & 4 & 3 & 3 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)\sim
\left(\begin{array}{ccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 1 & 2 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 4 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
$

Dostali sme pre takúto voľbu maticu zobrazenia:
$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 2 \\
0 & 4 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$

Ľahko vieme skontrolovať, či táto matica naozaj vyhovuje podmienkam zo zadania, t.j. skontrolovať, či:
* Riadky sú lineárne nezávislé. (To zodpovedá injektívnosti lineárneho zobrazenia určeného touto maticou.)
* Či pre vektory zo zadania naozaj platí $\vec x_iA=\vec y_i.$