Úloha 2.5 Asociativna grupa

[Rabatin]

Úloha 2.5. Nech $(G,\ast)$ je grupa. Dokážte, že pre ľubovoľné $x,y\in G$ existuje práve jedno $a$ také, že $x\ast a=y$. (Toto vlastne hovorí, že v tabuľke grupovej operácie sa v riadku $x$ vyskytne prvok $y$ práve raz.)

Pojdeme to dokazat sporom. Teda prv predpokladajme, ze existuje viac ako jeden takych $a$-cok. Inac povedane $y$ sa nachadza viackrat v tomto riadku. Teda plati:
$$x*a_1=y$$$$x*a_2=y$$.
Potom plati:
$$x*a_1=x*a_2$$
Pouzijeme pravidlo o krateni:
$$a_1=a_2$$
Co je spor s tym, ze existuje viac takych $a$-cok, pre ktore plati vyssie spomenute tvrdenie. Z toho vyplyva, ze prvok $y$ sa nachadza v riadku maximalne raz.

A teraz druha cast. Co ak neexisuje ziadne take $a$, pre ktore plati toto tvdenie. Inac povedane: V riadku $x$ sa nenachadza $y$. Potom existuje take $z$, ktore sa nachadza v tomto riadku dvakrat. Ale v predchadzajucom odstavci som dokazal, ze sa nemoze nachadza ziaden prvok v riadku dvakrat. Inac povedane neexistuje taky prvok $z$, ktory by sa nachadzal v tomto riadku dvakrat, cim sa dostavame k sporu. Z coho vyplyva, ze sa v tomto riadku nachadza prvok $y$ minimalne raz.

Ked spojime vysledky oboch odstavcov dokopy, tak dostaneme vyrok, ze prvok $y$ sa nachadza prave raz v tomto riadku.

[Martin Sleziak]

Co ak neexisuje ziadne take $a$, pre ktore plati toto tvdenie. Inac povedane: V riadku $x$ sa nenachadza $y$. Potom existuje take $z$, ktore sa nachadza v tomto riadku dvakrat.

Na základe čoho si myslíte, že by malo platiť takéto niečo? (Súhlasil by som s tým, že by sa to dalo zdôvodniť pre konečné množiny, ale v zadaní nikde nemáme napísané, že $G$ je konečná.)
Množina $\mathbb N$ s operáciou $a \ast b=a+b+1$ by bola kontrapríkladom na to, čo tu tvrdíte: V žiadnom riadku sa nevyskytuje 0, ale v žiadnom riadku nemáme nijaké číslo dvakrát. (Samozrejme, $(\mathbb N,\ast)$ nie je grupa; čo naznačuje, že tam asi bude treba využiť nejaké vlastnosti grupy.)

[Rabatin]

Ok, tak sa pokusim dokazat inak to druhe tvrdenie. Chceme dokazat, ze
$\exists a : x * a = y$.
Z definicie binarnej operacie vieme, ze plati:
$b = x^{-1} * y$
Pricom vieme, ze $x,y \in G$. Kedze $G$ je grupa, tak aj $x^{-1} \in G$. A z definicie BO plati, ze $b \in G$.
Pridajme na obe starny $x$:
$x* b = x * x^{-1} * y$
Nech $G$ ma NP $e$, potom:
$x * b = e * y$
$x * b = y$

Cim sme sa dostali do tvaru vyroku, ktory som chcel dokazat. Pricom $a=b$. Kedze $b \in G$, tak sme vlastne dokazali, ze existuje aspon jedno $a$-cko v riadku BO. Toto zasa spojime s prvou castou dokazu, ze nemoze existovat viac takych $a$-cok. A dostaneme, ze existuje prave jedno $a$-cko.

[Martin Sleziak]

Celé sa to dá povedať stručnejšie takto: Zoberieme si $a = x^{-1} * y$ a skontrolujeme, či naozaj platí $x * a = y$. (Ak sa nám podarí ukázať, že áno; tak sme dokázali existenciu aspoň jedného $a$.)

Značím si za túto úlohu 1 bod.