Úlohy ZS 2013/14

[Martin Sleziak]

V tomto vlákne budem zverejňovať úlohy, za ktorých vyriešenie na fóre môžete získať nejaké body navyše. (Nezaručujem, že sa objavia nové úlohy každý týždeň. Obvykle sa úlohy objavia po cviku, na ktorom sme preberali danú tému.)

• Za riešenia úloh na fóre sa dá získať maximálne 5 bodov. Za správne riešenie úlohy sa dá získať 1 bod.
• Ak niekto začne riešiť úlohu a riešenie bude nesprávne (alebo čiastočne nesprávne), stále má možnosť ju opraviť - podľa možnosti teda nechajte kolegov doriešiť úlohu a svoje riešenie tej istej úlohy pošlite až vtedy, ak explicitne napíše, že už v riešení neplánuje pokračovať alebo keď už má svoje riešenie obodované.
• Keď budete posielať riešenie nejakej úlohy, začnite samostatný topic a do názvu dajte číslo úlohy. (Rozumné je v nadpise aj nejako stručne popísať úlohu.) Zadanie úlohy sa dá ľahko skopírovať, keď kliknete na quote.

Úmysel je zhruba ten, že je lepšie, keď vám prípadné chyby vytknem v riešení, ktoré tu zverejníte, ako na písomke alebo na skúške.

Ak sa tu objaví nejaké riešenie a bude vám v ňom niečo nejasné, tak sa neváhajte pýtať.

Počítajte s tým, že riešenia úloh dám časom preč (niekedy po skončení skúškového) - aby mohli podobné zadania znovu riešiť vaši kolegovia, ktorých budeme učiť ten istý predmet. Čiže ak si vaše riešenia chcete odložiť, treba to urobiť niekedy do konca skúškového.)

Nejaký základný help k tomu, ako písať matiku, je tu. Pre človeka, ktorý v živote nerobil s TeX-om môže zabrať nejaký čas, kým sa naučí základy. Každopádne - aj ak sa budete vyhýbať TeX-u - snažte sa písať tak, aby to bolo čitateľné.

[Martin Sleziak]

Úloha 1.1. Dokážte: Ak $g\circ f$ je injekcia, tak $f$ je injekcia. Platí aj opačná implikácia? Musí $g$ byť injekcia?

Úloha 1.2. Dokážte: Ak $g \circ f $ je surjekcia, tak aj $g$ je surjekcia. Platí aj opačná implikácia? Musí byť $f$ surjekcia?

Úloha 1.3. Nech $M$, $N$ sú konečné množiny, $M$ má $m$ prvkov a $N$ má $n$ prvkov. Koľko existuje zobrazení množiny $M$ do množiny $N$?

[Martin Sleziak]

Momentálny stav bodov:
2 Varga Erik
1 Šuppa Marek

[Martin Sleziak]

Úloha 2.1. Nájdite najmenšie kladné prirodzené číslo $n$ také, že $\varphi^n=id$, ak $\varphi=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\1&3&5&6&2&4\end{pmatrix}$. Vypočítajte aj $\varphi^{-1}$.

Úloha 2.2. Ak viete, že ide o~tabuľku asociatívnej binárnej operácie, doplňte chýbajúce výsledky (ak sa to dá).
$$
\begin{array}{|c||c|c|c|}
\hline
& a & b & c \\ \hline\hline
a & b & a & c \\\hline
b & & & \\\hline
c & & & \\\hline
\end{array}
$$

Úloha 2.3. Ak $(G,\circ)$ je grupa a $a\in G$ je nejaký jej prvok, tak zobrazenie $f_a\colon G\to G$ definované ako $f_a(b)=a\circ b$ je
bijekcia.

Úloha 2.4. Overte, či množina $\mathbb R$ s operáciou $\ast$ definovanou ako $a\ast b=a+b-1$ tvorí grupu.

Úloha 2.5. Nech $(G,\ast)$ je grupa. Dokážte, že pre ľubovoľné $x,y\in G$ existuje práve jedno $a$ také, že $x\ast a=y$. (Toto vlastne hovorí, že v tabuľke grupovej operácie sa v riadku $x$ vyskytne prvok $y$ práve raz.)

[Martin Sleziak]

Momentálny stav bodov (ak som nič nezabudol zarátať):
3 Varga Erik
2 Šuppa Marek
1 Součková Kamila
1 Rabatin Rastislav

[Martin Sleziak]

Úloha 3.1. Dokážte, že:
a) V ľubovoľnom poli platí $(a+b)^m= a^m + \binom m1 \times a^{m-1}b + \binom m2 \times a^{m-2}b^2+ \ldots + \binom m{m-1} ab^{m-1} + b^m$. (Súčet na pravej strane sa zvykne označovať takto: $\sum_{k=0}^m \binom mk \times a^{m-k}b^k$.)
b) V poli $\mathbb Z_p$ platí: $(a\oplus b)^p=a^p \oplus b^p$.

Úloha 3.2. Pomocou úlohy 3.1 dokážte matematickou indukciou vzhľadom na $a$, že v $\mathbb Z_p$ platí rovnosť $a^p=a$ (pre ľubovoľné $a\in\mathbb Z_p$). (Toto je vlastne iná formulácia malej Fermatovej vety.)

Úloha 3.3. Nech na množine $M=\{0,1\}$ sú operácie $+$ a $\cdot$ dané tabuľkami
$$
\begin{array}{cc}
\begin{array}{c|cc}
+ & 0 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{array}
&
\begin{array}{c|cc}
\cdot & 0 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1
\end{array}
\end{array}
$$
Ukážte, že $(M,+)$ a $(M\setminus\{0\}, \cdot)$ sú komutatívne
grupy a že platí distributívny zákon $(a+b)c=ac+bc$. Je
$(M,+,\cdot)$ pole?

Úloha 3.4. Zistite, či $F=\{a+\frac b{\sqrt2}; a\in \mathbb Q, b\in \mathbb Q\}$ je pole. (Svoju odpoveď zdôvodnite!)

[Martin Sleziak]

Momentálny stav bodov (ak som nič nezabudol zarátať):
4 Varga Erik
2 Šuppa Marek
2 Petrucha Jaroslav
1 Součková Kamila
1 Rabatin Rastislav

[Martin Sleziak]

Úloha 4.1. Dokážte, že vo vektorovom priestore $V$ nad poľom $F$ pre každé $\vec\alpha, \vec\beta\in V$, $c\in F$ platí $c(\vec\alpha-\vec\beta)=c\vec\alpha-c\vec\beta$.

Úloha 4.2. Pre celé číslo $n$ a vektor $\vec\alpha$ definujeme $n\times\vec\alpha$ podobným spôsobom, ako sme definovali $n\times a$ pre prvok $a$ nejakého poľa $F$. Dokážte, že potom platí $n\times(c.\vec\alpha)=c.(n\times\vec\alpha)$.

Úloha 4.3. Nech $S$, $T$ sú podpriestory vektorového priestoru $V$ nad poľom $F$. Ukážte, že $S\cup T$ je podpriestor priestoru $V$ práve vtedy, keď $S\subseteq T$ alebo $T\subseteq S$.

Úloha 4.4. $\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon#2\to#3}\newcommand{\R}{\mathbb R}$Overte, či množina všetkých zobrazení $\Zobr f{\R}{\R}$ spĺňajúcich podmienku
$$(\forall x,y\in\R) f(x+y)=f(x)+f(y)$$
je podpriestorom priestoru $\R^{\R}$. (Tejto podmienke sa zvykne hovoriť Cauchyho funkcionálna rovnica.)

[Martin Sleziak]

Pridám ešte dva príklady na polia - o kúsok náročnejšie, ako príklady takéhoto typu, ktoré sme už riešili. (Takže som v číslovaní pokračoval zo sady príkladov pre polia.)

Úloha 3.5. Zistite, či $F=\{a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6; a,b,c,d\in\mathbb Q\}$ je pole. Svoju odpoveď zdôvodnite! (Hint: Možno pomôže prepísať si túto množinu do tvaru $F=\{a+b\sqrt3; a,b\in F'\}$, kde $F'=\{a+b\sqrt2; a,b\in\mathbb Q\}$.)

Úloha 3.6. Zistite, či $F=\{a+b\sqrt2+c\sqrt3; a,b,c\in\mathbb Q\}$ je pole. Svoju odpoveď zdôvodnite! (Možno pomôže pozrieť sa na hint k predošlej úlohe.)

[Martin Sleziak]

Momentálny stav bodov (ak som nič nezabudol zarátať):
4 Varga Erik
2 Petrucha Jaroslav
2 Součková Kamila
2 Šuppa Marek
1 Rabatin Rastislav