Prednášky ZS 2024/25 - všeobecná topológia (2-MPG-116)

[Martin Sleziak]

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

Tu sa dá pozrieť, čo sme na tomto predmete stihli minule - ale ide o prednášky z 2-MAT-211:
viewtopic.php?t=1884
viewtopic.php?t=1712
K niektorým častiam sú k dispozícii aj nejaké videá: viewtopic.php?t=1588

[Martin Sleziak]

1. prednáška: (20.9.)
Úvod: Trochu som hovoril také úvodné a motivačné reči o tom, čo vlastne by ste tento semester na tomto predmete mohli počuť. Veľa pojmov, ktoré poznáte pre metrické priestory budeme tu študovať pre topologické priestory, čo je všeobecnejšia štruktúra. (Medzi kľúčové pojmy patria spojitosť, konvergencia, kompaktnosť.)

Topologické priestory. Definícia topologického priestoru.
Pár jednoduchých príkladov: Diskrétny a indiskrétny priestor, Sierpińského priestor.
Definícia metrického priestoru, vnútorný bod množiny, topológia odvodená od metriky. (Aj sme overili, že to je skutočne topológia.)
Uzavreté množiny, obojaké množiny. Topológia sa dá zadať pomocou uzavretých množín.

[Martin Sleziak]

2. prednáška: (30.9.)
Kofinitná a kospočítateľná topológia.
Báza topológie. Definícia. Charakterizácia bázy topológie a generovanie topológie z bázy. Topológia odvodená od metriky, Sorgenfreyova priamka.
Subbáza. Definícia subbázy. Charakterizácia subbázy.

[Martin Sleziak]

3. prednáška: (7.10.)
Báza okolí. Definícia. Systém otvorených množín $\mathcal B$ je báza p.v.k. pre každý bod určuje bázu okolí.
Uzáver a vnútro. Definovali sme uzáver množiny, ukázali sme si ekvivalentný popis a ukázali nejaké základné vlastnosti. Bez dôkazu sme si povedali, aké podmienky musí spĺňať operátor uzáveru, aby sa z neho dala dostať topológia.
Zjednotenie uzáverov (a zjednotenie uzavretých množín) pre lokálne konečné systémy.
Vnútro množiny som iba zadefinoval a povedal v akom vzťahu je s uzáverom.

[Martin Sleziak]

4. prednáška: (14.10.)
Spojitosť. Spojitosť v bode, globálna spojitosť a charakterizácia cez vzor otvorenej množiny.
Spojitosť vs. vzor uzavretej množiny, Charakterizácia spojitosti cez vzory množín z bázy resp. subbázy.
Popis spojitosť cez obraz uzáveru. (Túto vec som povedal bez dôkazu)
Husté množiny. Definícia hustej množiny a ekvivalentná charakterizácia. (Pretína každú neprázdnu otvorenú podmnožinu.)
Obraz hustej množiny. Hustá množina sa spojitým zobrazením zobrazí na hustú množinu. Spojitý obraz separabilného priestoru je separabilný.
Separabilné priestory, prvá a druhá axióma spočítateľnosti. Definovali sme tieto pojmy: Prvá axióma spočítateľnosti, druhá axióma spočítateľnosti, separabilný priestor.
Z druhej axiómy spočítateľnosti vyplýva prvá.
Každý priestor so spočítateľnou bázou topológie je separabilný. Nabudúce ukážeme, že pre metrizovateľné priestory platí aj opačná implikácia. (T.j. metrizovateľný separabilný priestor má spočítateľnú bázu topológie.)

[Martin Sleziak]

5. prednáška: (21.10.)
Podpriestory
Definícia podpriestoru, báza, subbáza, uzáver v podpriestore,
Spojitosť na množinách z otvoreného pokrytia (z lokálne konečného uzavretého pokrytia) implikuje spojitosť na celom priestore.
Definícia vloženia.

Faktorové zobrazenia a faktorové priestory.
Na začiatku som chvíľu rozprával o tom, ako súvisia relácie ekvivalencie, rozklady a surjektívne zobrazenia. A tiež o tom, ako by sme pre danú množinu reláciu ekvivalencie vedeli zaviesť topológiu na $X/\sim$. (Aj keď toto skôr bolo k tomu, že ako sa dá faktorový priestor zobraziť - my sme nakoníec tieto veci popísali cez faktorové zobrazenia.)
Ukázali sme, ako zo surjekcie $f:X\to Y$ a z topológie na $X$ vieme dostať istú topológiu na množine $Y$. (Konkrétne najjemnejšiu topológiu, pri ktorej je zobrazenie $f$ spojité.)
Zadefinovali sme faktorové zobrazenie.
Trochu sme sa pozreli na to, ako to súvisí s reláciami ekvivalencie. (A povedali sme si súvis medzi reláciami ekvivalencie a surjektívnymi zobrazeniami. Niečo podobné ste možno mohli vidieť aj pre grupy pre grupy - faktorové grupy, grupové kongruencie, surjektívne homomorfizmy.)
Charakterizácia faktorových zobrazení pomocou vzoru uzavretej množiny.
Zloženie dvoch faktorových zobrazení je faktorové.
Otvorená (uzavretá) spojitá surjekcia je faktorové zobrazenie.

[Martin Sleziak]

6. prednáška: (28.10.)
Faktorové zobrazenia a faktorové priestory.
Príklady (kružnica, valec a tórus, Möbiov pásik, Kleinova fľaša.) Nejaké obrázky a animácie sa dajú nájsť tu: viewtopic.php?t=1897

Topologický súčin.
Definícia karteziánskeho súčinu (nekonečne veľa) množín, projekcie. (A neskôr sme ešte zaviedli aj označenia pre zobrazenia do súčinu.)
Súčin topologických priestorov sme definovali priamo pre prípad súčinu ľubovoľného systému. (Ale trochu sme sa potom vrátili aj k tomu ako to vyzerá pre dva priestory.)
Ako subbázu sme zobrali všetky množiny tvaru $p_i^{-1}[ U ]$, kde $U$ je otvorená v $X_i$. Báza topológie pre topologický súčin = súčiny otvorených množín, kde s výnimkou konečne veľa miest berieme celý priestor.
Projekcia je otvorené spojité zobrazenie. (Vo všeobecnosti nemusí byť uzavretá.)
Zobrazenie $f\colon Y\to \prod_{i\in I}X_i$ je spojité práve vtedy, keď všetky $p_i\circ f$ sú spojité. (Ako dôsledok dostaneme výsledok o spojitosti zobrazení $\langle f_i\rangle$ a $\prod f_i$.)
Spomenul som, že súčin je špeciálny prípad iniciálnej topológie a faktorový priestor je špeciálny prípad finálnej topológie. (Ale nedefinoval som tieto dva pojmy - len som chcel spomenúť, že existujú nejaké podobné zovšeobecnenia o topológiách určenými spojitosťou istého systému zobrazení.)
Box topology - keby sme zobrali bázu, kde by sme brali otvorené podmnožiny pre každý index (nie iba konečne veľa), tak by sme dostali inú topológiu na súčine, ktorá už nemá také pekné vlastnosti. (Ako napríklad: popis spojitosti, konvergencia je konvergencia po súradniciach. Tichonovova veta - súčin kompaktných priestorov je kompaktný. S výnimkou charakterizácie spojitosti sú to veci, ktoré ešte len budeme preberať.)

Topologický súčet
Len informatívne som spomenul, že existuje aj topologický súčet priestorov. Táto konštrukcia je výrazne jednoduchšia než súčin. Spomenul som iba definíciu a nejaké veci o spojitosti zobrazenia zo súčtu. (A azda bolo trochu vidieť, že sa to podobalo na výsledky pre súčin ale s "otočenými šípkami".)

Ešte raz zopakujem to, že aj topologický súčet aj iniciálnu a finálnu topológiu som spomenul naozaj iba informáciu, že takéto niečo existuje. Asi sú

[Martin Sleziak]

7. prednáška: (4.11.)
Konvergencia postupností
Na začiatku som chvíľu hovoril o postupnostiach. Pripomenul som nejaké veci, ktoré platia v metrických priestoroch pre postupnosti - s tým, že postupne ukážeme, že analogické tvrdenia platia v topologických priestoroch pre siete.
(Nerobil som na prednáške definíciu limity postupnosti - tá je špeciálny prípad limity siete. Takisto som nerobil ani to, že niektoré implikácie zo spomínaných tvrdení platia aj pre postupnosti - ale spomenul som to pri dôkazoch o sieťach. V tvrdení o spojitosti aj o uzávere platí ekvivalencia, ak by sme sa obmedzili na priestory vyhovujúce prvej axióme spočítateľnosti. Tieto veci sú dokázané v texte na stránke.)
Konvergencia sietí
Definícia nahor usmernenej množiny. Definícia siete a limity siete.
Sieť $(x_U)_{U\in\mathcal B_a}$, charakterizácia uzáveru a uzavretej množiny pomocou sietí. (Limity sietí jednoznačne určujú topológiu.)
Jednoznačnosť limity - charakterizácia hausdorffovských priestorov pomocou sietí.
Charakterizácia spojitosti pomocou sietí.

[Martin Sleziak]

8. prednáška: (11.11.)
Limita siete a subbáza.
Konvergencia sietí v iniciálnej topológii. Konvergencia v topologickom súčine je bodová konvergencia.
Podsiete.
Definícia podsiete.
Stručne som okomentoval, že podmienka v definícii podsiete v podstate hovorí v nejakom zmysle, že $h(e)\to\infty$. (Ale iba veľmi neformálne - nerobil som to tak ako v texte, kde je zavedená topológia na množine $D\cup\{\infty\}$, pre ktorú táto podmienka hovorí presne to, že sieť $(h(e))_{e\in E}$ konverguje k $\infty$.)
V literatúre sa vyskytujú aj iné definície podsiete ako je tá naša.
Podsieť postupnosti nemusí byť postupnosť.
Keby sme zobrali jednoduchšiu definíciu, kde by sme chceli priamo $E\subseteq D$ a $E$ je neohraničená, tak by sa to viac podobalo na definíciu podpostupností. Ale takáto definícia podsiete by nebola uspokojivá - pre ňu by neplatila charakterizácia hromadných bodov ani charakterizácia kompaktných priestorov pomocou podsietí. (Ak vás to zaujíma viac, tak v texte to nájdete pod názvom kofinálne podsieť.)
Podsieť konvergentnej siete tiež konverguje (k tej istej limite).
Hromadné body sietí.
Hromadné body siete - definícia a charakterizácia hromadných bodov ako limít podsietí.
Množina hromadných bodov sa dá vyjadriť ako $\bigcap\limits_{d\in D}\overline{\{x_e; e\in D, e\ge d\}}.$ (A teda je to uzavretá množina.)

T0,T1 a T2-priestory
Definícia $T_0$, $T_1$ a $T_2$-priestoru.
Každý metrický priestor je hausdorfovský priestor.
Podpriestor $T_2$ priestoru a súčin $T_2$-priestorov je opäť $T_2$-priestor.

[Martin Sleziak]

9. prednáška: (18.11.)
$T_1$-priestory sa dajú popísať tak, že jednobodové množiny sú uzavreté.
Regulárne priestory
Definícia regulárneho priestoru a $T_3$-priestoru. Charakterizácia pomocou existencie okolia takého, že $b\in U\subseteq\overline U\subseteq V$. Táto charakterizácia sa dá rozšíriť aj na subbázu.
Podpriestor a súčin regulárnych priestorov. Nerobil som príklad priestoru, ktorý je $T_2$ ale nie je $T_3$; dá sa pozrieť v texte.
Úplne regulárne priestory$\newcommand{\inv}[1]{#1^{-1}}\newcommand{\Invobr}[2]{\inv{#1}[#2]}$
Definícia úplne regulárneho a tichonovovského priestoru ($T_{3\frac12}$-priestoru).
V definícii môžeme $C(X,\mathbb R)$ nahradiť $C(X,I)$, t.j. obmedziť sa na funkcie do intervalu $I=\langle0,1\rangle$.
Pri tom sme si stručne povedali niečo o tom, že ak máme operáciu, ktorá je spojitá ako zobrazenie $\mathbb R\times\mathbb R\to\mathbb R$ (napríklad sčitovanie alebo maximum), tak pomocou zloženia s $\langle f,g\rangle$ vieme ukázať, že z dvoch spojitých funkcií dostaneme opäť spojitú funkciu.
Charakterizácia úplne regulárnych priestorov pomocou otvorených množín a pomocou subbázy.
Každý $T_{3\frac12}$-priestor je musí byť $T_2$ a aj $T_3$.
Táto trieda priestorov je uzavretá na súčiny.
$\newcommand{\inv}[1]{#1^{-1}}\newcommand{\Invobr}[2]{\inv{#1}[#2]}\newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}}$Ukázali sme, že pre spojitú funkciu $f$ platí $\ol{\Invobr fB}\subseteq \Invobr f{\ol{B}}$. (V skutočnosti je to ekvivalentná charakterizácia spojitosti - my sme však ukázali iba túto implikáciu; tú sme potrebovali v dôkaz o súčine. Urobili sme dôkaz pomocou sietí.)
Každý tichonovovský priestor je homeomorfný s podpriestorom nejakej Tichonovovej kocky, t.j priestoru tvaru $I^A$. Tento výsledok som povedal bez dôkazu; koho by dôkaz zaujímal, dá sa nájsť v texte na stránke. (Nie je však úplne priamočiary.)
Ešte z časti o úplne regulárnych priestoroch mi zostáva urobiť: Uzavretosť na podpriestory; metrizovateľné priestory sú úplne regulárne.