Relácia ekvivalencie zadaná ako $3\mid x+2y$

[Martin Sleziak]

Pre danú množinu $A$ a reláciu $\sim$ overte, či ide o reláciu ekvivalencie na množine $A$:
a) $A=\mathbb N$, $x\sim y$ $\Leftrightarrow$ $3\mid x+2y$;
b) $A=\mathbb R$, $x\sim y$ $\Leftrightarrow$ $|x-y|\le 1$.
(Uveďte aj zdôvodnenie prečo to je resp. nie je relácia ekvivalencie.)

Časť b) bola jednoduchá, stačí nájsť príklad, ktorý ukáže, že táto relácia nie je tranzitívna.
Máme $0\sim 1$, $1\sim 2$ ale $0\nsim 2$.

Chceme sa teda pozrieť hlavne na reláciu z druhej časti, t.j. na reláciu zadanú ako
$$x\sim y \qquad \Leftrightarrow \qquad 3\mid x+2y$$
pre $x,y\in\mathbb N$.

Je to kongruencia modulo $3$

Môžeme si najprv uvedomiť, že túto reláciu ekvivalentne môžeme prepísať ako:
$$x\sim y \qquad \Leftrightarrow \qquad 3\mid x-y.$$
Čísla $x+2y$ a $x-y$ sa líšia o celočíselný násobok trojky: $(x+2y)-(x-y)=3y$.
Z toho vidíme, že platí:
$$3\mid x+2y \qquad\Leftrightarrow\qquad 3\mid x-y.$$

Toto je presne spôsob, ako sme definovali $x\equiv y \pmod 3$.
A zdôvodnenie, že toto je relácia ekvivalencie, sme videli veľakrát - takže ho zvládneme hravo.

Spoiler:

Reflexívnosť:
Platí $x\sim x$, lebo $3\mid x-x=0$.

Symetria:
Ak $x\sim y$, znamená to, že $3\mid x-y$.
Pretože $$y-x=-(x-y),$$
máme potom aj $3\mid y-x$, a teda $y\sim x$.

Tranzitívnosť:
Predpokladajme, že $x\sim y$ a $y\sim z$.
T.j. $3\mid x-y$ a $3\mid y-z$.
Z rovnosti $$x-z=(x-y)+(y-z)$$ vidíme, že aj $3\mid x-z$, a teda $x\sim z$.

Alebo priamo z definície
Ale aj ak sme si túto vec nevšimli a používame zápis našej relácie ako $3\mid x+2y$, stále je pomerne priamočiare overiť všetky tri podmienky z definície relácie ekvivalencie.

Spoiler:

Reflexívnosť:
Platí $x\sim x$, lebo $3\mid x+2x=3x$.

Symetria:
Ak $x\sim y$, znamená to, že $3\mid x+2y$.
Pretože $$(y+2x)-(x+2y)=3(x-y)$$ je násobok trojky, dostaneme aj $3\mid y+2x$, čiže $y\sim x$.

Tranzitívnosť:
Teraz predpokladáme $x\sim y$ a $y\sim z$.
Máme teda $3\mid x+2y$ a $3\mid y+2z$.
Súčet týchto čísel je tiež násobok trojky. Tento súčet sa rovná $$(x+2y)+(y+2z)=x+3y+2z.$$
Dostali sme zatiaľ to, že $3\mid x+3y+2z$.
Ak však odčítame číslo $3y$, ktoré je tiež násobkom trojky, tak opäť dostaneme číslo, ktoré je násobkom trojky.
T.j. zdôvodnili sme takto, že $3\mid x+2z$, a teda aj $x\sim z$