Relácia ekvivalencie $x\sim y \Leftrightarrow 5\mid x+4y$

[Martin Sleziak]

Overte, či relácia $\sim$ je relácia ekvivalencie na množine $\mathbb Z$. Relácia je zadaná podmienkou:
$$x\sim y \qquad\Leftrightarrow\qquad 5\mid x+4y.$$

Môže byť užitočné uvedomiť si, že v skutočnosti platí:$\newcommand{\Ra}{\Rightarrow}\newcommand{\kong}[3]{#1\equiv #2\pmod{#3}}$
$$x\sim y \qquad\Leftrightarrow\qquad 5\mid x-y.$$

Spoiler:

Rozdiel týchto dvoch výrazov je
$$(x+4y)-(x-y)=5y.$$
Vidíme, že to je celočíselný násobok čísla $5$; obidva výrazy teda dávajú rovnaký zvyšok modulo $5$.

V tomto okamihu teda vlastne vidíme:

• Že to je špeciálny prípad relácie ekvivalencie, ktorú sme videli všeobecne pre komutatívnu grupu a ľubovoľnú podgrupu.
• Že sa to veľmi podobá na relácie ekvivalencie, ktoré sme párkrát stretli - takže môžeme zopakovať podobný postup.

Konkrétne túto reláciu dostaneme pre grupu $G=(\mathbb Z,+)$ a podgrupu $H=\{5z; z\in\mathbb Z\}$.
V takomto prípade máme
$$x\sim y \qquad\Leftrightarrow\qquad x-y\in H.$$
Podľa vety z prednášky to teda je skutočne relácia ekvivalencie.

Ale overíme to ľahko aj bez odvolávania sa na výsledky z prednášky.

Spoiler:

Reflexívnosť.
Pre ľubovoľné $x\in\mathbb Z$ platí $5\mid 0=x-x$, čiže aj $x\sim x$.

Symetria.
$$x\sim y \Rightarrow 5\mid x-y \Rightarrow 5\mid -(x-y)=y-x \Rightarrow 5\mid y-x$$

Tranzitívnosť.
$$\left.
\begin{aligned}
x&\sim y\\
y&\sim z
\end{aligned}
\right\}\Ra
\left.
\begin{aligned}
5&\mid x-y\\
5&\mid y-z
\end{aligned}
\right\}\Ra
5\mid (x-y)+(y-z)= x-z
\Ra x\sim z$$

Môžeme si všimnúť, že použité argumenty sú takmer totožné s postupom vo všeobecnom dôkaze o relácii zadanej podmienkou $$x\sim y \Leftrightarrow x-y\in H.$$
(Pre komutatívnu grupu $G$ a podgrupu $H$.)

Aj ak pracujeme priamo s predpisom zo zadania, tak je táto úloha pomerne jednoduchá.

Spoiler:

Reflexívnosť.

Pre ľubovoľné $x\in\mathbb Z$ platí
$$5\mid 5x = x+4x,$$
čiže $x\sim x$.

Symetria.
Ak platí $x\sim y$, tak máme $5\mid x+4y$. Potom platí aj
$$5\mid 5(x+y)-(x+4y)=y+4x,$$
čiže $y\sim x$.

Tranzitívnosť.
Predpokladajme, že $x\sim y$ a $y\sim z$, t.j.
\begin{gather*}
5\mid x+4y,\\
5\mid y+4z.
\end{gather*}
Potom dostaneme
$$5\mid (x+4y)+(y+4z)=5 \mid x+5y+4z.$$
Z toho máme aj
$$5\mid (x+5y+4z)-5y = x+4z.$$
Ukázali sme, že $x\sim z$

Ak ste zvyknutí pracovať s kongruenciami, tak zadaná podmienka sa dá zapísať ako
$$\kong{x+4y}05$$
alebo ekvivalentne $\kong xy5$.

Spoiler:

Pretože $\kong{4y}{-y}5$, dostávame:
$\kong{x+4y}05$ $\Leftrightarrow$ $\kong{x-y}05$ $\Leftrightarrow$ $\kong xy5$