Prednášky ZS 2024/25 - teória čísel

[Martin Sleziak]

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

K niektorým veciam sú na webe aj videá: viewtopic.php?t=1586

[Martin Sleziak]

1. prednáška (23.9.)
Veta o delení so zvyškom. Deliteľnosť. Najväčší spoločný deliteľ, Bézoutova identita.
Ak $c\mid a$ a $c\mid b$, tak $c\mid(a,b)$.
Euklidova lema (ak $a\mid bc$ a $(a,b)=1$, tak $a\mid c$).

Nehovorili sme o tom, ako sa dajú vyrátať čísla spĺňajúce Bézoutovu identitu - ak si potrebujete pripomenúť rozšírený Euklidov algoritmus, nejaké odkazy nájdete tu. Plánujeme sa ale k nemu na tejto prednáške ešte vrátiť (najneskôr pri lineárnych kongruenciách).

Najväčší spoločný deliteľ. Ukázali sme, že pre $a=qb+r$ máme $(a,b)=(b,r)$. (Tento vzťah je dôležitý pri rozšírenom Euklidovom algoritme.)
Tiež sme ukázali, že z $(a,b)=1$ a $(a,c)=1$ vyplýva $(a,bc)=1$.
Posledné dve vlastnosti z lemy 2.1.12 sme len povedali bez dôkazu.
Prešli sme príklad 2.1.13 o n.s.d $f(n)$ a $f(n+1)$ pre $f(n)=n^4+n^2+1$.
Preskočil som lemu 2.1.14 a dôsledok 2.1.15 - vrátime sa k nim neskôr, keď ich budeme potrebovať použiť.

[Martin Sleziak]

2. prednáška (30.9.)
Najväčší spoločný deliteľ a najmenší spoločný násobok
Najmenší spoločný násobok - definícia a vzťah s n.s.d.
Preskočil som lemu 2.1.14 a dôsledok 2.1.15 - vrátime sa k nim neskôr, keď ich budeme potrebovať použiť.

Prvočísla. Definícia, základné vlastnosti, základná veta aritmetiky (jednoznačnosť a existencia rozkladu na prvočísla). Kanonický rozklad, jeho súvis s deliteľnosťou, n.s.d, n.s.n.

Súčet prevrátených hodnôt prvočísel. Plánujeme sa dostať k dôkazu, že rad prevrátených hodnôt prvočísel diverguje. Zatiaľ sme si povedali niečo o číslach bez kvadratických deliteľov, ktoré budeme používať v dôkaze.
Nejaký čas sme strávili aj aj s tým, že na konvergenciu/divergenciu radu $\sum_{a\in A} \frac1a$ sa dá pozerať ako na nejaký typ kritéria, ktorý mi hovorí či podmnožina $A\subseteq\mathbb N$ je malá/veľká. A pritom som sa zastavil aj trochu pri radoch $\sum\frac1n$ a $\sum\frac1{n^2}$.
Pridám aj súvisiace linky: viewtopic.php?t=1585 a viewtopic.php?t=65

Začal som robiť prvý dôkaz (nabudúce začnem tým, že pripomeniem, čo sme stihli urobiť). V podstate nám v ňom ešte treba dokázať, že suma prevrátených hodnôt diverguje pre čísla bez štvorcov.

[Martin Sleziak]

3. prednáška (7.10.)
Rozloženie prvočísel. Ukázali sme, že v množine prvočísel sú ľubovoľne dlhé medzery.
Súčet prevrátených hodnôt prvočísel. Ukázali sme si tri dôkazy toho, že rad prevrátených hodnôt prvočísel diverguje.
V dôkaze sme využívali aj platnosť nerovnosti $e^x>1+x$ pre $x>0$. Pozri aj: viewtopic.php?t=1898
Takisto sme v dôkaze využili to, že rad $\sum\frac1{n^2}$ konverguje. (Čo sa dá ukázať pomerne ľahko.) Ak vás zaujíma dôkaz toho, že presná hodnota tejto sumy je $\pi^2/6$, tak nejaký dôkaz je v texte prednáške (v dodatku) - je to dôkaz pomocou Fourierových radov. Existuje veľa ďalších dôkazov, nejaké odkazy nájdete tu: viewtopic.php?t=65
V jednom dôkaze sme využili aj fakt, že ak nejaká postupnosť konverguje, tak postupnosť zostavená z aritmetických priemerov prvých n členov má tú istú limitu: viewtopic.php?t=1994

Jeden z dôkazov, ktorý sme robili (pochádzajúci od Paula Erdősa) sa dá nájsť v Proofs from THE BOOK - trochu som robil tejto knihe reklamu, že je vcelku zaujímavá.
Mala by sa dať nájsť aj v knižnici: https://alis.uniba.sk:8443/lib/item?id=chamo:589537
A zo siete UK je (momentálne) prístupná elektronická verzia: https://doi.org/10.1007/978-3-662-57265-8 alebo https://link.springer.com/book/10.1007/ ... 62-57265-8

[Martin Sleziak]

4. týždeň (14.10.)
Prvočíselná funkcia a prvočíselná veta. Sformulovali sme prvočíselnú vetu. Nerobil som dôkaz, že množina $\{p/q; p,q\in\mathbb P\}$ je hustá v $(0,\infty)$. Nerobil som časť o funkciách $\operatorname{li}(x)$ a $\operatorname{Li}(x)$.
Prvočíselnú vetu som povedal bez dôkazu. Tu na matfyze sa s jej dôkazom môžete stretnúť napríklad na predmete Vybrané kapitoly z teórie funkcií komplexnej premennej v magisterskom štúdiu.
Čebyševove nerovnosti. Dokázali sme Čebyševove nerovnosti, t.j. $$c_1 \frac x{\ln x} \leq \pi(x) \leq c_2 \frac x{\ln x}.$$ Najprv som chvíľu kecal o tom, že ich síce budeme dokazovať iba pre dostatočne veľké prirodzené čísla - ale že s nejakou námahou navyše by sme to boli schopní rozšíriť na reálne čísla $x\ge2$. (Keďže sa tu nejako vyskytlo to, že funkcia $f(x)=\frac{x}{\ln x}$ je od istého miesta monotónna, tak pridám linku na nejaký príklad, kde táto funkcia tiež hrá úlohu: viewtopic.php?t=1249 - je to otázka o porovnávaní čísel $x^y$ a $y^x$.)
Ukázali sme, že platí $\prod_{p\leq x} p < 4^x,$ a toto sme využili pri dôkaze jednej z nerovností.
Ukázali sme, že pre $d_n=[1,2,\ldots,n]$ platí $d_n\geq 2^{n-2}$. Z toho sme dostali nerovnosť $\pi(n) \geq \frac{n-2}{\lg n}.$

[Martin Sleziak]

5. týždeň (21.10.)
Bertrandov postulát. Dokázali sme Bertrandov postulát. Približne rovnaký dôkaz (s odchýlkami v niektorých detailoch) sa dá nájsť aj na Wikipédii: Proof of Bertrand's postulate.
Ešte raz Čebyševove nerovnosti. Dokázali sme pomocou Čebyševových nerovností odhad na n-té prvočíslo: $an\ln n<p_n<bn\ln n$. (Z prvočíselnej vety sa dá odvodiť $p_n\sim n\ln n$.)
Nerobil som časť o vzťahu prvočíselnej funkcie a Čebyševovej funkcie $\vartheta$.

[Martin Sleziak]

6. týždeň (28.10.)
Prvočísla špeciálneho tvaru a niektoré otvorené problémy. Povedali sme si niečo o Mersennových a Fermatových číslach.
Kongruencie. Stihli sme definíciu a niektoré základné vlastnosti kongruencií.
Videli sme, že kongruencie sa dajú sčitovať, násobiť.
Pozreli sme sa na to, kedy sa dá v kongruencii krátiť.
Ukázali sme, že pre nesúdeliteľné $m$, $n$ z kongruencií $a\equiv b \pmod m$ a $a\equiv b\pmod n$ vyplýva $a\equiv b \pmod{mn}$.
Pri kontrole, že $M_{11}=2^{11}-1$ a $F_5=2^{32}+1$ sú zložené sme spomenuli exponentiation by squaring. (Ak si chcete pozrieť nejakú inú možnosť overenia, že $F_5$ je zložené, pridám takúto linku: To show that Fermat number $F_{5}$ is divisible by $641$.)
Mersennove a Fermatove čísla.
Dokázali sme nutné podmienky pre prvočíselné delitele Mersennových a Fermatových čísiel - tvrdenie 3.1.15 (ak $q\mid 2^p-1$, tak $p\mid q-1$) a vetu 3.1.16 (ak $p\mid 2^{2^m}+1$, tak $p=k2^{m+1}+1$).

[Martin Sleziak]

7. týždeň (4.11.)
Grupové a okruhové kongruencie. Niečo som povedal o pojme kongruencia v trochu inom, ale veľmi príbuznom, zmysle. Konkrétne o kongruenciách v grupách a okruhoch, ktoré úzko súvisia s normálnymi podgrupami/ideálmi. (Máme vlastne 3 rôzne pohľady, ako sa dá pozerať na normálne podgrupy. Okrem definície sa na ne dá pozerať ako na jadrá homomorfizmov a tiež máme jedno-jednoznačnú korešpondenciu medzi normálnymi podgrupami a kongruenciami. Podobne je to s ideálmi v okruhoch a okruhovými kongruenciami.) Toto celé vlastne súvisí s faktorizáciou (faktorovými grupami, okruhmi, a pod.)
Lineárne kongruencie. Veta o tom, kedy existuje riešenie, aký je počet riešení, ako ich nájsť. Neriešil som konkrétny príklad, ale pripomenul som, že z iných predmetov poznáte rozšírený Euklidov algoritmus. (Niečo k nemu sa dá nájsť v poznámkach k prednáške, ale je o ňom niečo aj tu na fóre.)
Čínska veta o zvyškoch. Urobili sme dva dôkazy čínskej vety o zvyškoch.
Na konkrétnom príklade sme sa pozreli na to, že postup z dôkazu čínskej vety o zvyškoch sa dá použiť aj pri riešení takejto sústavy kongruencií.

[Martin Sleziak]

8. týždeň (18.11.)
Aritmetické funkcie. Multiplikatívne a úplne multiplikatívne funkcie - definícia, základné vlastnosti. Ak $f$ je multiplikatívna, tak aj $g(n)=\sum\limits_{d\mid n} f(d)$ je multiplikatívna. (V dôkaze sme využili lemu 2.1.14, ktorú som pri prednášaní prvej kapitoly preskočil. Zdôvodnil som ju iba pomocou kanonického rozkladu - ak niekedy zvýši čas, tak sa vrátim k dôkazu, ktorý sa neopiera o kanonický rozklad. Ako dôsledok sme dostali aj to, že pre každé $k\in\mathbb N$ je funkcia $f(n)=(n,k)$ multiplikatívna.)
Funkcie $d(n)$ a $\sigma(n)$. Vyjadrenie týchto funkcií z kanonického rozkladu. Charakterizácia párnych dokonalých čísel. (Nerobil som časť o nepárnych dokonalých číslach. Takisto ani to, ako sa $d(n)$ a $\sigma(n)$ funkcie správajú pre veľké $n$.)
Eulerova funkcia. Zadefinovali sme Eulerovu funkciu $\varphi(n)$ a dokázali, že je multiplikatívna.

[Martin Sleziak]

9. týždeň (25.11.)
Eulerova funkcia. Vyjadrenie Eulerovej funkcie na základe kanonického rozkladu: $\varphi(n)=\prod_{i=1}^k \left(p_i^{\alpha_i}-p_i^{\alpha_i-1}\right) = n \prod_{p\mid n} \left(1-\frac1p\right)$.
Malá Fermatova veta. Ukázali sme si nejaké dôkazy malej Fermatovej vety. (Urobil som induktívny dôkaz pomocou binomickej vety. A samozrejme aj dôkazy Eulerovej vety by sa dali aplikovať na tento špeciálny prípad. Nerobil som kombinatorický dôkaz, ktorý je v texte.)
Viacero dôkazov tejto vety je pozbieraných aj na Wikipédii: Proofs of Fermat's little theorem.
Eulerova veta. Dokázali sme Eulerovu vetu. (Urobil som dva dôkazy, oba v podstate nejako využívali grupu redukovaných zvyškových tried. Argument, ktorý sme použili pri kongruenciách sa dá zmodifikovať na dôkaz, že v každej komutatívnej $n$-prvkovej grupe platí $a^n=1$: viewtopic.php?t=2005)
Ešte Eulerova funkcia. Dokázali sme (dvoma spôsobmi) identitu $n=\sum\limits_{d\mid n}\varphi(d)$.
Lagrangeova veta. Sformuloval som Lagrangeovu vetu - ale iba sme si povedali, že to je špeciálny prípad toho, čo vieme o vlastnostiach polynómov nad ľubovoľným poľom.
Wilsonova veta. Ukázali sme Wilsonovu vetu - jeden dôkaz bol založený na Lagrangeovej vete, druhý využíval multiplikatívnu grupu poľa $\mathbb Z_p$. (Nerobil som kombinatorický dôkaz.)
Pomocou Wilsonovej vety sme ukázali, že $-1$ je kvadratický zvyšok modulo $p$, ak $p$ je prvočíslo tvaru $p=4k+1$.