Písomka 1, skupina A, príklad 1

[jaroslav.gurican]

Nech $X$ je množina, $f\colon X\to X$ je zobrazenie. Vieme, že zloženie zobrazení je asociatívne, preto $f\circ(f\circ f)=(f\circ f)\circ f$ je zobrazenie z $X$ do $X$. Označme $f^3=f\circ(f\circ f)$. T.j. $f^3\colon X\to X$, $\mathrm{id}_{X}$ označuje identické zobrazenie na množine $X$ (ako sme to vždy robili).
a) (3 body) Dokážte: ak $f^3=\mathrm{id}_{X}$ tak $f$ je bijekcia.
Vzhľadom na zadanie v b) je dobre si uvedomiť, že aby $f^3=\mathrm{id}_{X}$, zobrazenie $f$ NEMUSÍ byť identita na množine $X$.
b) (2 body) Nájdite množinu $X$ a funkciu $f$ tak, aby $f\ne \mathrm{id}_{X}$ a $f^3=\mathrm{id}_{X}$.

Riešenie:
a) prvé riešenie: $f$ je bijekcia práve vtedy, keď má inverznú funkciu (o tom sme hovoridli na cvičeniach). Položme $g=f\circ f$. Potom $f\circ g=f\circ(f\circ f)=\mathrm{id}_{X}$ a tiež $g\circ f=(f\circ f)\circ f=\mathrm{id}_{X}$, čiže $g$ je inverzná funkcia ku $f$. Preto je $f$ bijekcia.

druhé riešenie: použijeme definíciu: zobrazenie je bijektívne práve vtedy, keď je injektívne a surjektívne. Overíme tieto dve vlastnosti pre $f\colon X\to X$ spĺňajúce predpoklad $f^3=\mathrm{id}_{X}$.
Surjektívnosť $f$: nech $b\in X$. Potrebujeme nájsť $a\in X$ také, že $f(a)=b$. Položme $a=f\circ f(b)$. Potom $f(a)=f(f\circ f(b))=f^3(b)=\mathrm{id}_{X}(b)=b$. Teda $f$ je surjektívne. (porovnajte aj s úlohou 2.2.1 a faktom, že $\mathrm{id}_{X}=f^3(b)=\mathbf{f}\circ(f\circ f)$ je surjekcia. Tučným $f$ je zvýraznená tá "inštancia", ktorá podľa 2.2.1. musí byť surjekcia.)
Injektívnosť $f$: Vieme, že $f^3=\mathrm{id}_{X}$ je injektívne. Dokážeme obmenu: ak $f$ nie je injektívne, tak $f^3$ nie je injektívne (čiže ak $f^3$ je injektívne, tak $f$ je injektívne).
Nech $f$ nie je injektívne, $a,b\in X$ sú také, že $a\ne b$ a $f(a)=f(b)=c$. Potom $(f\circ f)(f(a))=(f\circ f)(c)=(f\circ f)(f(b))$, t.j. $f^3(a)=f^3(b)$, čiže $f^3$ nie je injektívne. (porovnajte aj s úlohou 2.2.2 a faktom, že $\mathrm{id}_{X}=f^3(b)=(f\circ f)\circ \mathbf{f}$ je injekcia. Tučným $f$ je zvýraznená tá "inštancia", ktorá podľa 2.2.2. musí byť injekcia.)

Alebo: dokážeme implikáciu $f(a)=f(b)\Rightarrow a=b$.
Nech $f(a)=f(b)$. Potom $f^2(f(a))=f^2(f(b))$ (lebo $f^2$ je zobrazenie). Ale $f^2(f(a))=f^3(a)=\mathrm{id}_X(a)=a$, podobne$f^2(f(b))=f^3(b)=\mathrm{id}_X(b)=b$. Čiže $a=b$.

b) stačí zvoliť $X=\{1,2,3\}$ a zobrazenie $f\colon X\to X$ také, že $f(1)=2, f(2)=3, f(3)=1$. Očividne $f\ne \mathrm{id}_{X}$.
Ďalej $f^3(1)=f(f(f(1)))=f(f(2))=f(3)=1$, $f^3(2)=f(f(f(2)))=f(f(3))=f(1)=2$, $f^3(3)=f(f(f(3)))=f(f(1))=f(2)=3$, teda $f^3=\mathrm{id}_{X}$.

[Martin Sleziak]

Komentáre k odovzdaným riešeniam
Nejaké poznámky k veciam, ktoré sa objavili v písomkách - toto sa týka prvého príkladu z oboch skupín.

Nemá zmysel povedať, že "funkcia je asociatívna" alebo "funkcia je komutatívna".
Z viacerých písomiek sa zdalo, že ste použili takýto termín, keď ste v skutočnosti chceli povedať, že nejaká funkcia je surjektívna alebo že je injektívna.

*****

Vo viacerých písomkách som našiel niečo zhruba takéto.

Zobrazenie $f\colon X\to Y$ je injektívne, ak pre každé $x\in X$ existuje najviac jedno $y\in Y$.
Zobrazenie $f\colon X\to Y$ je surjektívne, ak pre každé $x\in X$ existuje aspoň jedno $y\in Y$.

Toto je nesprávne. (Alebo prinajmenšom nejasné - ale myslí sa tým asi to, že $y$ je obraz prvku $x$.)
Priamo z definície zobrazenia vieme, že každému $x\in X$ sme priradili práve jedno $y\in Y$. (A tento prvok označujeme $y=f(x)$.)
Injektívnosť a surjektívnosť sa dá popísať pomocou vzorov.
Funkcia $f\colon X\to Y$ je injektívna, ak každé $y\in Y$ má najviac jeden vzor. (T.j pre ľubovoľné $y\in Y$ existuje najviac jedno $x\in X$ také, že $y=f(x)$.)
Funkcia $f\colon X\to Y$ je surjektívna, ak každé $y\in Y$ má aspoň jeden vzor. (T.j. pre ľubovoľné $y\in Y$ existuje aspoň jedno $x\in X$, ktoré sa zobrazí na $y$.)

Takisto nie je správna formulácia, ak tvrdíte, že surjektívnosť znamená, že "ku každému $f(x)$ existuje $x$, ktoré sa naň zobrazí".
Ak nejaký prvok má tvar $f(x)$, tak určite má nejaký vzor, ale v koobore môžu byť aj nejaké prvky, ktoré nemajú takýto tvar.

*****

Podmienka $$x=x' \qquad \Rightarrow \qquad f(x)=f(x')$$
je splnená pre každé zobrazenie. Takisto ak napíšeme obmenenú implikáciu
$$f(x)\ne f(x') \qquad \Rightarrow \qquad x\ne x'.$$
Správna definícia injektívnosti je pomocou týchto (ekvivalentných) podmienok:
\begin{align*}
f(x)=f(x') \qquad &\Rightarrow \qquad x=x'\\
x \ne x' \qquad &\Rightarrow \qquad f(x) \ne f(x')
\end{align*}