dôkazy takéhoto typu - konkrétne napríklad dôkaz tvrdenia 2.4.5(i).
Konečné a nekonečné systémy
Pri úlohách takéhoto typu je dôležité uvedomiť si rozdiel medzi tým, či dokazujeme niečo pre konečný systém množín alebo pre konečne veľa množín.
Vieme napríklad dokázať $(A_1\cup A_2)\cup(B_1\cup B_2)=(A_1\cup B_1)\cup(A_2\cup B_2)$ prepísaním podľa definície:
Spoiler:
Tým sme vlastne dokázali $(\bigcup\limits_{i\in I} A_i)\cup(\bigcup\limits_{i\in I} B_i) = \bigcup\limits_{i\in I} (A_i\cup B_i)$ pre ľubovoľnú konečnú množinu $I$. (Každú konečnú množinu viem očíslovať číslami $1,2,\dots,n$ pre nejaké $n$.) To však nie je to, čo sme mali dokazovať - v zadaní úlohy išlo o dôkaz tohoto tvrdenia pre ľubovoľný systém, nie iba pre systémy pozostávajúce z konečne veľa množín.
Poznámky k zápisu
Tu vlastne len opakujem niečo, čo som už spomínal.
Medzi množinami píšeme rovnosť, inklúziu, množinové operácie a pod. Medzi výrokmi ekvivalenciu, implikáciu a ďalšie logické spojky.
Príklady správnych zápisov:
$$A\setminus B=\{x\in A; x\notin B\}\\
x\in A\setminus B \Leftrightarrow x\in A\land x\notin B
$$
Tento zápis je nesprávny: $A\setminus B=x\in A \land x\notin B$.
Tento zápis by sa snáď dal uznať: $x\in A\setminus B = x\in A\land x\notin B$. Medzi ekvivalentnými výrokmi je však oveľa bežnejšie písať $\Leftrightarrow$, $\equiv$ alebo $\leftrightarrow$.
Podobne namiesto $x\notin \bigcup_{i\in I} A_i$ môžeme písať $\neg (\exists i\in I) (x\in A_i)$, prípadne $\neg [(\exists i\in I) (x\in A_i)]$
ale zápis $x\notin (\exists i\in I) (x\in A_i)$ nie je správny. (Po symboloch $\in$, $\notin$ by mala nasledovať množina.)
Pokiaľ ste si nie istý tým, ako zapísať veci, možno je rozumnejšie rozpísať to slovne, ako použiť stručnejší zápis, ale nesprávny. (Čiže napísať niečo ako: Nech $x$ je ľubovoľný prvok množiny $A\setminus B$. To znamená, že platí $x\in A$ a $x\notin B$. To je ekvivalentné s tým, že...)
Prepísanie na výrok s kvantifikátormi
Výrok $x\in \bigcap\limits_{i\in I} A_i$ môžeme prepísať ako $(\forall i\in I) x\in A_i$. Ak označím $Q(i)\equiv x\in A_i$, tak to môžem prepísať ako $(\forall i\in I) Q(i)$. V niektorých odovzdaných úlohách sa objavil zapis $(\forall x)Q(x)$, hoci kvantifikátory sa v skutočnosti vzťahovali na množinu $I$. (To v princípe nie je až taká veľká chyba, ale ak v tom istom dôkaze označujete dve rôzne veci ako $x$, môžete sa ľahko popliesť. Takže by bolo lepšie dodržať v oboch prípadoch označenie $i\in I$; t.j. pri operácii aj pri kvantifikátore.)
Nepatrí, negácia
Niektorí z vás ste prepísali výrok $x\notin\bigcap_{i\in I}B_i$ hneď do tvaru $ (\exists i\in I)x\notin B_i$. (Čo je úplne správne a je fajn, že hneď vidíte, že to je tak.) Keby sme chceli odvodiť detailnejšie, prečo to platí, tak si môžeme všimnúť, že tam vlastne negujeme výrok s kvantifikátorom.
$$x\notin\bigcap_{i\in I}B_i \Leftrightarrow \neg (x\in\bigcap_{i\in I}B_i) \Leftrightarrow \neg (\forall i\in I)x\in B_i \Leftrightarrow (\exists i\in I)x\notin B_i$$
Systém $\mathcal S=\{A_i;i\in I\}$
Niektorí z vás ste pri práci s $\bigcap\limits_{i\in I} A_i$ používali to, že
$$x\in\bigcap\limits_{i\in I} A_i \Leftrightarrow (\forall A\in\mathcal S) x\in A,$$
pri označení $\mathcal S=\{A_i;i\in I\}$. To je síce pravda, ale trochu ste si tým (aspoň v niektorých úlohách) skomplikovali život. To isté sa dá zapísať ako
$$x\in\bigcap\limits_{i\in I} A_i \Leftrightarrow (\forall i\in I) x\in A_i.$$
Analogická poznámka samozrejme platí aj pre prienik.
Ešte väčšie problémy mohli vzniknúť, ak ste riešili úlohu, kde boli dva systémy množín. Ak ste tým istým symbolom označili $\mathcal S=\{A_i;i\in I\}$ aj $\mathcal S=\{B_i;i\in I\}$, tak riešenie samozrejme nie je správne. (Vo všeobecnosti to môžu byť rôzne systémy.)