Prednášky ZS 2024/25 - vybrané partie z ATA

[Martin Sleziak]

Dohodli sme sa, že nabudúce porozprávam niečo o komplexných číslach. (Taký veľmi stručný úvod - niečo, čo bude stihnuteľné za 90-minútovú prednášku.)

Na stránke sa objavila dnes už posledná domáca úloha.
Mailom ste odo mňa dostali záverečný test: viewtopic.php?t=2016

10. prednáška (12.12.)
Zadefinovali sme stupeň algebraického prvku $[u:F]=[F(u):F]$.
Z popisu poľa $F(u)$ vidíme, že $[u:F]=\operatorname{st}m_u(x)$.
Ako dôsledok vety z minula dostávame, že $[u:F] \mid [K:F]$ resp. $\operatorname{st}m_u(x) \mid [K:F]$. (Stupeň minimálneho polynómu každého prvku musí deliť stupeň rozšírenia.)
Skonštruovateľné čísla.
Pripomenuli sme, že vieme skonštruovať všetky racionálne čísla, čísla tvaru $x\pm y$, $x\cdot y$, $\sqrt{xy}$. (Pri tom sme spomenuli, ako vieme dostať $v^2=c_ac_b$, $a^2=c_ac$ a $b^2=c_bc$ a že takto dostaneme pomerne krátky dôkaz Pytagorovej vety.)
Ukázali sme, že pre každé skonštruovateľné číslo platí $[u:\mathbb Q]=2^n$.
Čísla $\sqrt[2]3$ a $\cos\frac\pi9$ nie sú skonštruovateľné. (Pri tom sme pripomenuli ako vieme dostať vzorec pre $\cos3x$ a $\sin3x$.)
Ak vieme, že $\pi$ je transcendentné, tak dostávame že $\pi$ ani $\sqrt\pi$ nie sú skonštruovateľné.
Konečné polia.
Ak vezmeme $\mathbb Z_2[x]/(x^2+x+1)$, tak dostaneme štvorprvkové pole.
Definovali sme charakteristiku poľa a ukázali, že pre každé konečné pole je počet prvkov rovný $p^n$, t.j. je to mocnina prvočísla.
Fakt, že pre každé $p^n$ existuje pole a je až na izomorfizmus jednoznačné sme spomenuli bez dôkazu. (Dôkaz by nebol úplne krátky.)