Písomka 2, úloha 1, skupina A, B - hodnosť matice s parametrom

[jaroslav.gurican]

Zadanie: Zistite, jako závisí hodnosť matice (toto je matice pre skupinu A)
$
A=\begin{pmatrix}
3 & 2 & t & 4-2t\\
1 & -1 & 3 & -t\\
2 & 3 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$
od parametra $t$. (Nad poľom reálnych čísiel!)

Pre skupinu B je matica $A=\begin{pmatrix}
3 & 2 & t & 2t\\
1 & -1 & 3 & -t\\
2 & 3 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$

Riešenie: Úlohu budeme riešiť pomocou gaussovej eliminačnej metódy. Zadanie je v skupinách A, B skoro rovnaké, líšia sa len v prvku ktorý sa nachádza v prvom riadku v štvrtom stĺpci, t.j. $a_{14}$), v oboch prípadoch použijeme rovnaké elementárne riadkové úpravy. Vďaka tomu, že v druhom riadku máme na pozícii pivota číslo 1 (a tiež je prijemné, že prvé 3 prvky v druhom riadku nezávisia od premennej $t$), prvá úprava (pre obidve skupiny) bude výmena druhého a prvého riadku.

Skupina A: $\DeclareMathOperator{\h}{h}$

$
A=\begin{pmatrix}
3 & 2 & t & 4-2t\\
1 & -1 & 3 & -t\\
2 & 3 & 0 & 1
\end{pmatrix}\sim
$ $
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 3 & -t\\
3 & 2 & t & 4-2t\\
2 & 3 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
\phantom{1}\\
-3\cdot I\\
-2\cdot I
\end{matrix}\sim
$ $
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 3 & -t\\
0 & 5 & t-9 & 4+t\\
0 & 5 & -6 & 1+2t
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
\phantom{1}\\
\phantom{1}\\
-II
\end{matrix}\sim
$ $
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 3 & -t\\
0 & 5 & t-9 & 4+t\\
0 & 0 & 3-t & t-3
\end{pmatrix}
$

Táto (posledná) matica je v trojuholníkovom tvare (nie redukovanom), podľa známej vety a algoritmu hodnosť pôvodnej matice je počet nenulových riadkov v tejto trojuholníkovej matici (resp. v ľubovoľnej trojuholníkovej matici, ktorá je riadkovo ekvivalentná s maticou $A$). Ak je $t=3$, je posledný riadok nulový a teda v tomto prípade je $\h(A)=2$. Ak $t\ne 3$, je posledný riadok nenulový a teda v tomto prípade je $\h(A)=3$.

Výsledok: Ak je $t=3$ je $\h(A)=2$, inak (t.j. pre $t\ne 3$) je $\h(A)=3$.

Skupina B (ak ste pozerali výpočty pre skupinu A, teraz stačí skontrolovať výpočty vo štvrtom stĺpci):

$
A=\begin{pmatrix}
3 & 2 & t & 2t\\
1 & -1 & 3 & -t\\
2 & 3 & 0 & 1
\end{pmatrix}\sim
$ $
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 3 & -t\\
3 & 2 & t & 2t\\
2 & 3 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
\phantom{1}\\
-3\cdot I\\
-2\cdot I
\end{matrix}\sim
$ $
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 3 & -t\\
0 & 5 & t-9 & 5t\\
0 & 5 & -6 & 1+2t
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
\phantom{1}\\
\phantom{1}\\
-II
\end{matrix}\sim
$ $
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 3 & -t\\
0 & 5 & t-9 & 5t\\
0 & 0 & 3-t & 1-3t
\end{pmatrix}
$

Táto (posledná) matica je v trojuholníkovom tvare (nie redukovanom), podľa známej vety a algoritmu hodnosť pôvodnej matice je počet nenulových riadkov v tejto trojuholníkovej matici (resp. v ľubovoľnej trojuholníkovej matici, ktorá je riadkovo ekvivalentná s maticou $A$). Je vidieť, že posledný riadok je nenulový pre každé $t\in \mathbb R$ (ak je $3-t=0$, je $1-3t\ne 0$). To znamená, že pre každé $t\in \mathbb R$ je matica $A$ riadkovo ekvivalentná s trojuholníkovou maticou, ktorá má 3 nenulové riadky a preto je $\h(A)=3$ nezávisle od hodnoty parametra $t$.

Samozrejme, spôsobov, ako nájsť pomocou gaussovej eliminácie (redukovanú) trojuholníkovú maticu, ktorá je riadkovo ekvivalentná so zadanou maticou $A$ je principiálne nekonečne veľa, predviedli sme len jeden z nich.