Písomka 2, úloha 3, skupina B - rovnosť podpriestorov

[jaroslav.gurican]

Zadanie: Zistite, či pre podpriestory platí uvedená rovnosť: $$[(2,4,4,2,4),\ (3,1,1,2,2),\ (4,3,3,2,0)]=[(1,1,0,1,4),\ (2,1,3,3,1),\ (3,2,1,1,3)]$$
(Nad $Z_5$.)

Riešenie:$\DeclareMathOperator{\h}{h}$
Položme $A=\begin{pmatrix}
2 & 4 & 4 & 2 & 4\\
3 & 1 & 1 & 2 & 2\\
4 & 3 & 3 &2 & 0
\end{pmatrix}$ a $B=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 1 & 4\\
2 & 1 & 3 & 3 & 1\\
3 & 2 & 1 & 1 & 3
\end{pmatrix}$,
t.j $V_A=[(2, 4, 4, 2, 4), (3, 1, 1, 2, 2), (4, 3, 3, 2, 0)]$ a $V_B=[(1, 1, 0, 1, 4), (2, 1, 3, 3, 1), (3, 2, 1, 1, 3)]$.
Podľa známej vety je $V_A=V_B$ práve vtedy, keď RTM spravené z $A$ a $B$ sú rovnaké.

Nájdime teda príslušné RTM:

$A=\begin{pmatrix}
2 & 4 & 4 & 2 & 4\\
3 & 1 & 1 & 2 & 2\\
4 & 3 & 3 &2 & 0
\end{pmatrix}\begin{matrix}
\phantom{1}\\
+I\\
\phantom{1}
\end{matrix}\sim$ $\begin{pmatrix}
2 & 4 & 4 & 2 & 4\\
0 & 0 & 0 & 4 & 1\\
4 & 3 & 3 &2 & 0
\end{pmatrix}\begin{matrix}
\odot 3\\
\phantom{1}\\
\phantom{1}
\end{matrix}\sim$ $\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0 & 4 & 1\\
4 & 3 & 3 &2 & 0
\end{pmatrix}\begin{matrix}
\phantom{1}\\
\phantom{1}\\
+I
\end{matrix}\sim$ $\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0 & 4 & 1\\
0 & 0 & 0 &3 & 2
\end{pmatrix}\begin{matrix}
+II\\
\phantom{1}\\
\phantom{1}
\end{matrix}\sim$ $\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 & 0 & 3\\
0 & 0 & 0 &4 & 1\\
0 & 0 & 0 & 3 & 2
\end{pmatrix}\begin{matrix}
\phantom{1}\\
\odot 4\\
\phantom{1}
\end{matrix}\sim$ $\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 & 0 & 3\\
0 & 0 & 0 &1 & 4\\
0 & 0 & 0 & 3 & 2
\end{pmatrix}\begin{matrix}
\phantom{1}\\
\phantom{1}\\
+2II
\end{matrix}\sim$ $\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 & 0 & 3\\
0 & 0 & 0 &1 & 4\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}$
Okrem iného tu vidíme, že $\h(A)=2$.

Teraz upravíme maticu $B$.

$B=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 1 & 4\\
2 & 1 & 3 & 3 & 1\\
3 & 2 & 1 & 1 & 3
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
\phantom{1}\\
+3I\\
+2I
\end{matrix}\sim$ $\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 1 & 4\\
0 & 4 & 3 & 1 & 3\\
0 & 4 & 1 & 3 & 1
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
+II\\
\phantom{1}\\
\phantom{1}
\end{matrix}\sim$ $\begin{pmatrix}
1 & 0 & 3 & 2 & 2\\
0 & 4 & 3 & 1 & 3\\
0 & 4 & 1 & 3 & 1
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
\phantom{1}\\
\odot 4\\
\phantom{1}
\end{matrix}\sim$ $\begin{pmatrix}
1 & 0 & 3 & 2 & 2\\
0 & 1 & 2 & 4 & 2\\
0 & 4 & 1 & 3 & 1
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
\phantom{1}\\
\phantom{1}\\
+II
\end{matrix}\sim$ $\begin{pmatrix}
\boldsymbol1 & \boldsymbol0 & \boldsymbol3 & \boldsymbol2 & \boldsymbol2\\
\boldsymbol0 & \boldsymbol1 & \boldsymbol2 & \boldsymbol4 & \boldsymbol2\\
\boldsymbol0 & \boldsymbol0 & \boldsymbol3 & \boldsymbol2 & \boldsymbol3
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
+4III\\
+III\\
\phantom{1}
\end{matrix}\sim$ $\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 4\\
0 & 1 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 3 & 2 & 3
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
\phantom{1}\\
\phantom{1}\\
\odot 2
\end{matrix}\sim$ $\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 4\\
0 & 1 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 4 & 1
\end{pmatrix}$

Vidíme, že redukované trojuholníkové matice prisluchajúce ku $A$ a ku $B$ nie sú rovnaké, preto uvedené podpriestory nie sú rovnaké.
Keďže sme si všimli, že $\h(A)=2$, z výpočtov pre maticu $B$ pri matici, ktorá je vyznačená tučne vidieť, že $\h(B)=3$, čo znamená, že uvedené podpriestory majú rôzne dimenzie a preto nie sú rovnaké (čiže sme mohli výpočet pre maticu $B$ skončiť o 2 kroky skôr a aj bez úpravy na RTM by sme vedeli dať správnu odpoveď).