V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)
Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)
Informácie o skúške nájdete tu.
Prednášky LS 2024/25 - algebra
Moderators: Martin Sleziak, TomasRusin, Veronika Lackova, davidwilsch, jaroslav.gurican, Ludovit_Balko
-
jaroslav.gurican
- Posts: 244
- Joined: Fri Aug 31, 2012 4:34 pm
Re: Prednášky LS 2024/25 - algebra
1. prednáška (17. 9. 2025)$\DeclareMathOperator{\ker}{Ker}\DeclareMathOperator{\im}{Im}\DeclareMathOperator{\dimm}{d}\newcommand{\R}{\mathbb R}$
Jadro a obraz lineárneho zobrazenia. Pre lineárne zobrazenie $f\colon U\to V$ (keď $U, V$ sú vektorové priestory nad nejakým poľom $F$, samozrejme) sme definovali množiny, ktoré sme potom označili ako $\ker(f)$ (jadro zobrazenia $f$) a $\im(f)$ (obraz zobrazenia $f$) a dokázali sme, že $\ker(f)$ je podpriestor $U$ a $\im(f)$ je podpriestor $V$. Dokázali sme charakterizáciu $\im(f)$ (čim je generovaný - tvrdenie 5.8.3) a dokázali sme vetu 5.8.7 - Ak $U$ je konečnorozmerný, tak
$$
\dimm(\ker(f))+\dimm(\im(f))=\dimm(U).
$$
Ukázali sme si postup, ako sa dá naraz vypočítať báza jadra aj obrazu lineárneho zobrazenia $f\colon F^m\to F^n$ - postup je podobný ako pri hľadaní matice lineárneho zobrazenia $A_f$.
Skalárny súčin. Definovali sme skalárny súčin na vektorovom priestore $U$ nad poľom reálnych čísel $\R$.
Ukázali sme sme si dva príklady (vzorce) ako sa dá definovať skalárny súčin - jeden príklad bol v $U=\R^n$, druhý bol v $U=\R^2$, ukázali sme si, ako v prípade "typických vzorcov" možno zo vzorca ľahko zistiť hodnoty $g(\vec\epsilon_i, \vec\epsilon_j)$ (počítali sme všetky hodnoty $g(\vec\epsilon_1, \vec\epsilon_1)$, $g(\vec\epsilon_1, \vec\epsilon_2)$, $g(\vec\epsilon_2, \vec\epsilon_1)$, $g(\vec\epsilon_2, \vec\epsilon_2)$) pre príklad vzorca v $\R^2$ - taký príklad aj s niečím okolo toho ešte bude na cvičeniach, ale asi pre $\R^3$, aby to bolo ešte lepšie vidieť).
Jadro a obraz lineárneho zobrazenia. Pre lineárne zobrazenie $f\colon U\to V$ (keď $U, V$ sú vektorové priestory nad nejakým poľom $F$, samozrejme) sme definovali množiny, ktoré sme potom označili ako $\ker(f)$ (jadro zobrazenia $f$) a $\im(f)$ (obraz zobrazenia $f$) a dokázali sme, že $\ker(f)$ je podpriestor $U$ a $\im(f)$ je podpriestor $V$. Dokázali sme charakterizáciu $\im(f)$ (čim je generovaný - tvrdenie 5.8.3) a dokázali sme vetu 5.8.7 - Ak $U$ je konečnorozmerný, tak
$$
\dimm(\ker(f))+\dimm(\im(f))=\dimm(U).
$$
Ukázali sme si postup, ako sa dá naraz vypočítať báza jadra aj obrazu lineárneho zobrazenia $f\colon F^m\to F^n$ - postup je podobný ako pri hľadaní matice lineárneho zobrazenia $A_f$.
Skalárny súčin. Definovali sme skalárny súčin na vektorovom priestore $U$ nad poľom reálnych čísel $\R$.
Ukázali sme sme si dva príklady (vzorce) ako sa dá definovať skalárny súčin - jeden príklad bol v $U=\R^n$, druhý bol v $U=\R^2$, ukázali sme si, ako v prípade "typických vzorcov" možno zo vzorca ľahko zistiť hodnoty $g(\vec\epsilon_i, \vec\epsilon_j)$ (počítali sme všetky hodnoty $g(\vec\epsilon_1, \vec\epsilon_1)$, $g(\vec\epsilon_1, \vec\epsilon_2)$, $g(\vec\epsilon_2, \vec\epsilon_1)$, $g(\vec\epsilon_2, \vec\epsilon_2)$) pre príklad vzorca v $\R^2$ - taký príklad aj s niečím okolo toho ešte bude na cvičeniach, ale asi pre $\R^3$, aby to bolo ešte lepšie vidieť).