Okruhy $2\mathbb Z$ a $3\mathbb Z$

[Martin Sleziak]

Dokážte, že okruhy $(2\mathbb Z,+,\cdot)$ a $(3\mathbb Z,+,\cdot)$ nie sú izomorfné.
(Označenie: $2\mathbb Z=\{2k; k\in\mathbb Z\}$ a $3\mathbb Z=\{3k; k\in\mathbb Z\}$.)

Hint: Ak su izomorfne tieto okruhy, tak musia byt izomorfne aj grupy $(2\mathbb Z,+)$ a $(3\mathbb Z,+)$. Viete najst vsetky izomorfizmy medzi tymito grupami?

[Martin Sleziak]

Z uvedeného hintu sa azda už dá dokončiť riešenie, ale ak by bolo predsa treba.

Spoiler:

Nech by $f\colon2\mathbb Z\to3\mathbb Z$ bo okruhový izomorfizmus.
Je to súčasne aj grupový izomorfizmus, obe grupy sú cyklické, musí zobraziť generátor na generátor. Možnosti sú jedine $f(2)=3$ alebo $f(2)=-3$.
(Pričom tieto dve hodnoty už jednoznačne určia hodnoty $f$, ak to má byť grupový homomorfizmus.)

Súčasne to má byť okruhový homomorfimus, čiže dostaneme v jednotlivých prípadoch:
$$f(4)=f(2\cdot2)=f(2)\cdot f(2) = (\pm3)^2=9$$
Súčasne však platí
$$f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)=\pm6.$$

Spor.

Pekný argument v jednom z vašich riešení bol: V okruhu $2\mathbb Z$ má rovnica $$x+x=x\cdot x$$ nenulové riešenie. Nie je ťažké overiť, že v $3\mathbb Z$ také riešenie neexistuje. Toto je vlastnosť, ktorá sa izomorfizmom zachová - teda okruhy nie sú izomorfné.

Medzi odovzdanými riešeniami na písomke sa našli nejaké, kde sa tvrdilo že neexistuje bijekcia medzi týmito množinami. Ak sa nad tým trochu zamyslíte, azda by mohlo byť jasné, že $|2\mathbb Z|=|\mathbb Z|=\aleph_0$ a to isté platí aj pre $3\mathbb Z$. (A asi nie je ťažké ani vymyslieť bijekciu medzi týmito množinami.)

Niektorí odovzdali riešenie, kde overili pre jedno konkrétne zobrazenie že to nie je izomorfizmus. To samozrejme nestačí ako dôkaz, že neexistuje žiadny izomorfizmus.