Prednášky LS 2024/25 - algebra

[jaroslav.gurican]

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)


Informácie o skúške nájdete tu.

[jaroslav.gurican]

1. prednáška (17. 9. 2025)$\DeclareMathOperator{\ker}{Ker}\DeclareMathOperator{\im}{Im}\DeclareMathOperator{\dimm}{d}\newcommand{\R}{\mathbb R}$
Jadro a obraz lineárneho zobrazenia. Pre lineárne zobrazenie $f\colon U\to V$ (keď $U, V$ sú vektorové priestory nad nejakým poľom $F$, samozrejme) sme definovali množiny, ktoré sme potom označili ako $\ker(f)$ (jadro zobrazenia $f$) a $\im(f)$ (obraz zobrazenia $f$) a dokázali sme, že $\ker(f)$ je podpriestor $U$ a $\im(f)$ je podpriestor $V$. Dokázali sme charakterizáciu $\im(f)$ (čim je generovaný - tvrdenie 5.8.3) a dokázali sme vetu 5.8.7 - Ak $U$ je konečnorozmerný, tak
$$\dimm(\ker(f))+\dimm(\im(f))=\dimm(U).$$
Ukázali sme si postup, ako sa dá naraz vypočítať báza jadra aj obrazu lineárneho zobrazenia $f\colon F^m\to F^n$ - postup je podobný ako pri hľadaní matice lineárneho zobrazenia $A_f$.

Skalárny súčin. Definovali sme skalárny súčin na vektorovom priestore $U$ nad poľom reálnych čísel $\R$.
Ukázali sme sme si dva príklady (vzorce) ako sa dá definovať skalárny súčin - jeden príklad bol v $U=\R^n$, druhý bol v $U=\R^2$, ukázali sme si, ako v prípade "typických vzorcov" možno zo vzorca ľahko zistiť hodnoty $g(\vec\epsilon_i, \vec\epsilon_j)$ (počítali sme všetky hodnoty $g(\vec\epsilon_1, \vec\epsilon_1)$, $g(\vec\epsilon_1, \vec\epsilon_2)$, $g(\vec\epsilon_2, \vec\epsilon_1)$, $g(\vec\epsilon_2, \vec\epsilon_2)$) pre príklad vzorca v $\R^2$ - taký príklad aj s niečím okolo toho ešte bude na cvičeniach, ale asi pre $\R^3$, aby to bolo ešte lepšie vidieť).

[jaroslav.gurican]

2. prednáška (24. 2. 2025)
Skalárne súčiny, pokračovanie
Matica skalárneho súčinu pre sk. súčin vo v.p. typu $\mathbb R^n$.
Definícia dĺžky vektora v danom sk. súčine, vlastnosti dĺžky a sk. súčinu - veta 1.1.8 z textu (je v tom aj Schwarzova nerovnosť a trojuholníková nerovnosť).

Ortogonálne doplnky
Pojem uhla medzi vektormi a kolmosti, kolmých vektorov.
Pojem ortogonálneho doplnku danej podmnožiny vektorového priestoru so sk. súčinom, vlastnosti ortogonálnych doplnkov (na prednáške to bolo v jednej vete) - tvrdenia, lemmy 1.1.13, 1.1.14 a 1.1.16 zo skrípt.


Domácu úlohu číslo 1 nájdete tu - zverejnená 25. 2. 2025.

Rád by som pripomenul: na prvej prednáške som spomínal, že písomka bude jedna a bude 16. apríla 2025 o 18:10. Miestnosť ešte upresním.

[jaroslav.gurican]

3. prednáška (3. 3. 2025)

Definícia ortogonálneho a ortonormálneho systému vektorov, ortonormálnej bázy. Tvrdenie 1.1.11 (nenulové ortogonálne vektory sú LN). Veta o Gram-Schmidtovom ortogonalizačnom procese.

Skoro sme dokončili sme kapitolu o skalárnych súčinoch. Dokázali sme vety o ortogonálnej projekcii v euklidovskom priestore na konečnorozmerný podpriestor, vetu o ďalších vlastnostiach ortogonálneho doplnku v konečnorozmerných euklidovských priestoroch (pre podpriestory $S, T$ v konečnorozmernom euklidovskom priestore $(E,\langle,\rangle)$ platí: $S\oplus S^\perp=E$, $(S^\perp)^\perp=S$, $(S\cap T)^\perp=S^\perp+T^\perp$.

Domácu úlohu číslo 2 nájdete tu - zverejnená 5. 3. 2025.

[jaroslav.gurican]

4. prednáška (10. 3. 2023)
Izomoforizmy euklidovských priestorov Ešte sme si povedali, že vďaka tomu, ako je zo skalárneho súčinu definovaná dĺžka vektora, uhol medzi vektormi a kolmosť vektorov je priamo vidieť, že každý izomorfizmus $f\colon E_1\to E_2$ euklidovských priestorov$(E_1,g_1)$ a $(E_2,g_2)$ musí zachovať dĺžku (t.j. dĺžka $\vec{\alpha}$ v $(E_1,g_1)$ a $f(\vec{\alpha)}$ v $(E_2, g_2)$ sú rovnaké, uhol medzi vektormi a kolmosť.
Kvadratické formy Definícia kvadratickej formy $n$ komutujúcich premenných, čo znamemá komutovanie premenných, rovnosť dvoch kvadratických foriem, symetrický zápis kv. formy, (symetrická) matica kv. formy.
Prečo sú zaujímavé kvadratické formy v tvare $\pm x_1^2\pm x_2^2\dots\pm x_k^2+0x_{k+1}^2+\dots 0x_{n}^2$ (kanonický tvar kv. formy).
Regulárna lineárna transformácia súradníc (alebo regulárna substitúcia - $(y_1,\dots,y_n)P=(x_1,\dots,x_n)$) a kongruentné matice: $B=PAP^T$ pre regulárnu maticu $P$.
Veta o existencii regulárnej lineárnej transformácii súradníc - každá kv. forma $\sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_ix_j$ sa dá vhodnou regulárnou lineárnou transformáciou (substitúciou) súradníc prepísať do tvaru $\pm y_1^2\pm y_2^2\dots\pm y_k^2+0y_{k+1}^2+\dots 0y_{n}^2$ (kanonický tvar kv. formy).

Nerobili sme formálny dôkaz, ten si môžete pozrieť v skriptách (veta 2.2.5 a dôsledok 2.2.6), ale ukázali sme si postup uvedený v dôkaze na konkrétnom príklade, kde sme ukázali podstatné dva kroky z dôkazu: doplnenie na štvorec s tým, že sa snažíme zbaviť VŠETKÝCH zmiešaných členov obsahujúcich povedzme $x_1$; spôsob, čo robiť, keď nemáme štvorec, ale len zmiešané členy (toto vám ukážem ešte len na budúci týždeň) - substitúcia typu $x_1=y_1+y_2$, $x_2=y_1-y_2$ , ktorá prepíše zmiešaný člen $x_1x_2$ na $y_1^2-y^2$, a potom môžeme pokračovať dopĺňaním na štvorec. Výmenu premenných (substitúciu typu $y_1=x_i, y_i=x_1$) sme spomenuli)

Na cvičeniach si ukážeme, že tieto veci sa dajú robiť na sym. matici danej kv. formy pomocou symetrických úprav (urobí sa ERO a na výsledku sa hneď spraví analogická stĺpcová operácia - tým zo sym. matice vždy spravíme sym. maticu, sú to úpravy typu $PAP^T$ pre veľmi jednoduché regulárne matice $P$ (každá z nich vznikne z $I$ urobením príslušnej ERO na matici $I$ - označíme ich $E_1,\dots,E_k$, postupne by sme robili niečo ako $E_1AE_1^T$, $E_2(E_1AE_1^T)E_2^T$,...) - ale keďže sa každá regulárna matica dá elem. operáciami upraviť na jednotkovú maticu $I$ - čo znamená, že z matice $I$ sa dá el. riadkovými operáciami dostať ľubovoľná regulárna matica $P$, je jasné, že sa týmto postupom dá zo sym. matice $A$ danej kv. formy týmto postupom vyrobiť ľubovoľná $PAP^T$ (pre reg. maticu $P$) a teda aj hľadaná diagonálna matica s $\pm 1$ a nulami na diagonále) - viď postup z príkladov 2.2.7 a 2.2.8 na str. 24-25 v skriptách - je dobre to začať čítať od začiatku strany 24.

[jaroslav.gurican]

5. prednáška (17. 3. 2023)
Dokončenie dvoch zaujímavých prípadov z vety o kanonickom tvare kv. formy (reálnej symetrickej matice). Príklad na výpočet kanonického tvaru (resp. "aspoň" diagonálneho) pre symetrickú maticu $A$ (nad $\mathbb{R}$) pomocou symetrických úprav aj s hľadaním matice $P$, ktorá zabezpečí, že $PAP^T$ bude "vypočítaná" diagonálna matica.
Sylvestrov zákon zotrovačnosti pre kvadratické formy (veta 2.3.1). Vetu som dokázal v podstate kompletne, že počet nenulových prvkov na diagonálnej matici je vždy rovnaký a je určený hodnosťou pôvodnej matice (toto budem aj skúšať), aj druhú časť o počte kladných a záporných jednotiek. Celý dôkaz budem chcieť len od ľudí, ktorí budú ašpirovať na A-čko (t.j. aj s časťou podľa ktorej je aj počet $+$ jednotiek a $-$ jednotiek rovnaký).
Definície pozitívnej (semi)definitnosti kvadratickej formy/reálnej symetrickej matice, zápornej (semi)definitnosti kvadratickej formy/reálnej symetrickej matice. Relácia kongruencie reálnych symetrických matíc zachováva tieto vlastnosti (t.j. napr. ak $A, B$ sú kongruentné matice tak $A$ je pozitívne definitná práve vtedy, keď $B$ je pozitívne definitná). Matica je kladne definitná práve vtedy, keď je kongruentná s identickou maticou $I$, resp. práve vtedy, keď je kongruentná s diagonálnou maticou, ktorá má na diagonále (len) kladné prvky.
Sylvestrovo kritérium pozitívnej definitnosti (vety/tvrdenia 2.3.4-2.3.5) - tu sme si povedali aj dôkazy (z dôkazu vety 2.3.5 ešte chýba dôkaz jednej implikácie).

Domácu úlohu ešte vyrobím, bude potom na obvyklom mieste.

[jaroslav.gurican]

6. prednáška (20. 3. 2023)
Dokončili sme dôkaz Sylvestrovho kritéria pre pozitívnu definitnosť (reálnych symetrických) matíc.

Podobnosť matíc.
Matica prechodu medzi dvoma bázami toho istého vektorového priestoru $V$ nad poľom $F$ (Označenie buď $P$ alebo $P_{\beta,\alpha}$). Vlastnosti tejto matice (napr. o "prepočítavaní" súradníc, "vzorec" $(b_1,\dots,b_n)_{\beta}P_{\beta,\alpha}=(a_1,\dots,a_n)_{\alpha}$), matice $P_{\beta,\alpha}$ a $P_{\alpha,\beta}$ sú navzájom inverzné (teda každá matica prechodu je regulárna), a ak máme bázu $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$ v.p. $V$ a regulárnu maticu $P=\|p_{ij}\|_{n\times n}$, tak vektory $\vec\beta_1 =\sum_{i=1}^n p_{1i}\vec\alpha_i,\dots,\vec\beta_n =\sum_{i=1}^n p_{ni}\vec\alpha_i$ tiež tvoria bázu $V$.

Matica lineárneho zobrazenia $f\colon V\to V$ pri (v) báze $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$ (označili sme ju ako $A_f^{\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n}$ alebo skrátene $A_f^{\alpha}$). Vzorec pre počítanie obrazov vektorov, pre ktoré máme dané súradnice v báze $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$, t.j. ak $\vec\beta=a_1\vec\alpha_1+\dots +a_n\vec\alpha_n$, tak $(a_1,\dots a_n)_\alpha A_f^{\alpha}=(b_1,\dots,b_n)_\alpha$ - a toto je $f(\vec\beta)$ vyjadrený v báze $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$, t.j. $f(\vec\beta)=b_1\vec\alpha_1+\dots b_n\vec\alpha_n$.
Ukázali sme vzorec (vzťah) medzi maticami toho istého zobrazenia v rôznych bázach: $A_f^{\vec\beta_1,\dots,\vec\beta_n}=P_{\beta,\alpha}A_f^{\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n} P_{\beta,\alpha}^{-1}=P_{\beta,\alpha}A_f^{\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n} P_{\alpha,\beta}$.

Podobnosť matíc, vlastné čísla a vlastné vektory matice $A$ $n\times n$ nad $F$ - definovali sme pojem podobnosti matíc $n\times n$ nad poľom $F$. Dokázali sme, že matice $A, B$ $n\times n$ sú podobné práve vtedy, keď sú to matice jedného lineárneho zobrazenia pri nejakých dvoch bázach (pričom jedna z nich môže byť $\vec\epsilon_1,\dots,\vec\epsilon_n$).
Ukázali sme príklad, ako sa dá počítať napr. $A^n$ (alebo napr. $e^A$) ak je $A$ podobná diagonálnej matici.
Definovali sme pojmy vlastného čísla a vlastného vektora štvorcovej matice $A$.

Domácu úlohu číslo 3 nájdete tu - zverejnená 27. 3. 2025.

[jaroslav.gurican]

7. prednáška (31. 3. 2023)
Podobnosť s diagonálnou maticou. V podstate sme dokončili "paragraf" 3.2 - ukázali sme, ako sa majú počítať vlastné čísla a potom pomocou nich vlastné vektory matice $A$ $n\times n$ nad poľom $F$ (aspoň ako sa to dá dobre robiť pre malé $n$). Charakteristický polynóm matice -- $ch_A(x)$).

$a\in F$ je vlastné číslo $A$ práve vtedy, keď je riešením (koreňom) polynómu $ch_A(x)$, t.j. keď platí $ch_A(a)=0$.

Matica $n\times n$ je podobná diagonálnej práve vtedy, keď jej vlastné vektory generujú $F^n$. - veta 3.2.3

Ak vlastné vektory $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_k$ prislúchajú ku po dvom rôznym vlastným číslam $c_1,\dots,c_k$ (t.j. vždy tu platí $\vec\alpha_i A=c_i\vec\alpha_i$), tak sú lineárne nezávislé. - lema 3.2.4

Ak má matica $n\times n$ nad $F$ $n$ po dvoch rôznych vlastných čísiel $c_1,\dots,c_n\in F$, potom je podobná s diagonálnou maticou (ktorá má na diagonále prvky $c_1,\dots,c_n$). - dôsledok 3.2.5

Ak sú matice $A, B$ $n\times n$ podobné, potom majú rovnaký determinant, rovnaký charakteristický polynóm a rovnakú stopu. (nutné podmienky na podobnosť matíc) - lema 3.2.6, dôsledok 3.2.7., poznámka za dôsledkom 3.2.7 (v skutočnosti prvá a tretia časť sú dôsledkom druhej, i keď aj prvá aj tretia časť sa dajú ľahko dokázať "bez" druhej)

Ešte je jedno jednoduché kritérium na základe ktorého budeme vedieť, že je matica určite podobná diagonálnej (reálna symetrická matica), ale to bude na nasledujúcej prednáške.

Domacu úlohu ešte zadám.