Determinant 4x4

[Martin Sleziak]

Keďže na v čase zadania úlohy sme toho ešte nemali prebraté veľa, vybral som dosť jednoduchý príklad - výpočet determinantu pre maticu $4\times4$.

Vypočítajte determinant danej matice nad poľom $\mathbb R$.
$$A=
\begin{pmatrix}
2 & 1 &-1 & 1 \\
-1 & 1 & 3 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$

Štandardné veci, ktoré sa dajú používať sú riadkové a stĺpcové úpravy, Laplaceov rozvoj a prípadne nejaké ich kombinácie.

Nejaké možnosti ako sa dalo počítať:

$
\begin{vmatrix}
2 & 1 &-1 & 1 \\
-1 & 1 & 3 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 0 & 1
\end{vmatrix}=$ $
\begin{vmatrix}
0 &-1 &-1 &-1 \\
0 & 2 & 3 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1
\end{vmatrix}=$ $
\begin{vmatrix}
0 &-1 &-1 &-1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1
\end{vmatrix}=$ $
\begin{vmatrix}
0 &-1 &-1 &-1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1
\end{vmatrix}=$ $
-\begin{vmatrix}
1 & 1 & 0 & 1 \\
0 &-1 &-1 &-1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{vmatrix}=$ $
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{vmatrix}=1
$

$
\begin{vmatrix}
2 & 1 &-1 & 1 \\
-1 & 1 & 3 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 0 & 1
\end{vmatrix}=$ $
\begin{vmatrix}
2 & 1 &-1 & 1 \\
-1 & 1 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1
\end{vmatrix}=$ $
\begin{vmatrix}
2 & 1 &-2 & 0 \\
-1 & 1 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 &-1 & 0
\end{vmatrix}=$ $
-\begin{vmatrix}
2 & 1 &-2 \\
-1 & 1 & 2 \\
1 & 1 &-1
\end{vmatrix}=$ $
-\begin{vmatrix}
0 &-1 & 0 \\
-1 & 1 & 2 \\
1 & 1 &-1
\end{vmatrix}=$ $
-\begin{vmatrix}
-1 & 2 \\
1 & -1
\end{vmatrix}=1
$

Môžeme vyskúšať aj Laplaceov rozvoj - ale ten sa oplatí používať hlavne vtedy, ak máme v niektorom riadku alebo stĺpci viacero núl; tak najprv urobme jednu riadkovú operáciu.

$
\begin{vmatrix}
2 & 1 &-1 & 1 \\
-1 & 1 & 3 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 0 & 1
\end{vmatrix}=$ $
\begin{vmatrix}
2 & 1 &-1 & 1 \\
-1 & 1 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1
\end{vmatrix}=$ $
\begin{vmatrix}
2 & 1 & 1 \\
-1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{vmatrix}-
\begin{vmatrix}
2 & 1 &-1 \\
-1 & 1 & 3 \\
1 & 1 & 0
\end{vmatrix}\overset{(1)}=$ $
-\begin{vmatrix}
2 & 1 &-1 \\
-1 & 1 & 3 \\
1 & 1 & 0
\end{vmatrix}=$ $
-\begin{vmatrix}
0 &-1 &-1 \\
0 & 2 & 3 \\
1 & 1 & 0
\end{vmatrix}=$ $
-\begin{vmatrix}
-1 &-1 \\
2 & 3 \\
\end{vmatrix}=-(-1)=1
$

(1): Prvý determinant je nulový, lebo má dva rovnaké stĺpce.

Alebo môžeme ešte o čosi viac núl vyrobiť takto:

$
\begin{vmatrix}
2 & 1 &-1 & 1 \\
-1 & 1 & 3 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 0 & 1
\end{vmatrix}=$ $
\begin{vmatrix}
2 & 1 &-1 & 1 \\
1 & 2 & 2 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1
\end{vmatrix}=$ $
\begin{vmatrix}
2 & 1 &-1 & 1 \\
1 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1
\end{vmatrix}=$ $
\begin{vmatrix}
2 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 0 \\
1 & 1 & 1
\end{vmatrix}-
\begin{vmatrix}
2 & 1 &-1 \\
1 & 2 & 0 \\
1 & 1 & 0
\end{vmatrix}=$ $
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 0 \\
1 & 1 & 1
\end{vmatrix}+
\begin{vmatrix}
1 & 2 \\
1 & 1
\end{vmatrix}=2-1=1
$

[Martin Sleziak]

Komentáre k niektorým riešeniam:
TODO z definície - cez permutácie

TODO poradie úprav - Hricová

[Martin Sleziak]

Determinant blokovej matice$\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}$

Ako jednu z úloh na determinanty sme mali odvodenie takéhoto vzťahu pre determinant blokovej matice:
$$
\det\begin{pmatrix}
A & B \\
C & D
\end{pmatrix}=
\det(A) \det (D-C \inv A B) =
\det (A - B\inv{D}C)\det(D)
$$

Môžeme vyskúšať na tomto konkrétnom príklade, čo dostaneme, ak skúsime napríklad spočítať $\det (A - B\inv{D}C)\det(D)$.

Matica $D$ je pomerne jednoduchá, ľahko nájdeme jej inverznú.
$$D=
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\qquad
\inv D=
\begin{pmatrix}
1 &-2 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}
$$
A vidíme aj to, že $\det(D)=1$.

Treba ešte vypočítať $A - B\inv{D}C=
\begin{pmatrix}
0 &-1 \\
1 & 3 \\
\end{pmatrix}$

Spoiler:

\begin{align*}
A - B\inv{D}C
&=\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
-1 & 1 \\
\end{pmatrix}-
\begin{pmatrix}
-1 & 1 \\
3 & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 &-2 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1 \\
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
-1 & 1 \\
\end{pmatrix}-
\begin{pmatrix}
-1 & 1 \\
3 & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-1 &-1 \\
1 & 1 \\
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
-1 & 1 \\
\end{pmatrix}-
\begin{pmatrix}
2 & 2 \\
-2 &-2 \\
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
0 &-1 \\
1 &3 \\
\end{pmatrix}
\end{align*}

Dostaneme takto:
$$
\det\begin{pmatrix}
2 & 1 &-1 & 1 \\
-1 & 1 & 3 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 0 & 1
\end{pmatrix}=
\det\begin{pmatrix}
0 &-1 \\
1 & 3 \\
\end{pmatrix}
\det\begin{pmatrix}
1 &-2 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}=1\cdot1=1
$$