Úloha 4.3 zjednotenie vektorových podpriestorov

[ErikVarga108]

Úloha 4.3. Nech $S$, $T$ sú podpriestory vektorového priestoru $V$ nad poľom $F$. Ukážte, že $S\cup T$ je podpriestor priestoru $V$ práve vtedy, keď $S\subseteq T$ alebo $T\subseteq S$.

Sporom: Budem predpokladať, že $S$ a $T$ sú rôzne, jeden nie je podmnožinou druhého.

$S$ a $T$ sú VPP, preto:
$\vec0 \in S$, $\vec0 \in T \rightarrow \vec0 \in S\cup T \rightarrow S\cup T$ je neprázdna množina

Teraz treba overovať platnosť takejto implikácie:
$c, d\in F; \vec\alpha, \vec\beta\in S\cup T \rightarrow c.\vec\alpha + d.\vec\beta \in S\cup T$

$S$ a $T$ sú rôzne, preto:
$\vec\alpha \in S$ a $\vec\alpha \notin T$
$\vec\beta \in T$ a $\vec\beta \notin S$

$c.\vec\alpha + d.\vec\beta \notin S$
$c.\vec\alpha + d.\vec\beta \notin T$
a teda $c.\vec\alpha + d.\vec\beta \notin S\cup T \rightarrow$ platí pôvodné tvrdenie, teda, že $S\cup T$ je podpriestor priestoru $V$ práve vtedy, keď $S\subseteq T$ alebo $T\subseteq S$.

Konkrétne to podľa mňa vidno napríklad pri overovaní uzavretosti:
$(\forall \vec\alpha, \vec\beta \in S\cup T): \vec\alpha + \vec\beta \in S\cup T$
Ak $\vec\alpha \in S = (1,1)$ a $\vec\beta \in T = (2,2)$, potom priestor $S \cup T$ obsahuje vektory $(1,1)$ a $(2,2)$, ale ich súčet $(3,3)$ nie.

[Martin Sleziak]

$c.\vec\alpha + d.\vec\beta \notin S$
$c.\vec\alpha + d.\vec\beta \notin T$

Odkiaľ vieme, že $c.\vec\alpha + d.\vec\beta \notin S$? (Možno o kúsok jednoduchšie by bolo pozerať sa na $\vec\alpha + \vec\beta$.)

Konkrétne to podľa mňa vidno napríklad pri overovaní uzavretosti:
$(\forall \vec\alpha, \vec\beta \in S\cup T): \vec\alpha + \vec\beta \in S\cup T$
Ak $\vec\alpha \in S = (1,1)$ a $\vec\beta \in T = (2,2)$, potom priestor $S \cup T$ obsahuje vektory $(1,1)$ a $(2,2)$, ale ich súčet $(3,3)$ nie.

Toto nie je veľmi dobrý príklad, lebo akýkoľvek podpriestor $\mathbb R^2$ obsahujúci (1,1) obsahuje aj (2,2) a obrátene. (Uzavretosť na násobenie skalárom.)

[ErikVarga108]

Aha. Tak potom vzdávam túto úlohu.

[Martin Sleziak]

Snáď priveľa neprezradím, keď poviem, že začať s tým, že ak S nie je podmnožina T a ani T nie je podmnožina S, tak určite musia existovať takéto vektory

$\vec\alpha \in S$ a $\vec\alpha \notin T$
$\vec\beta \in T$ a $\vec\beta \notin S$

a snažiť sa z toho dostať spor sa mi zdá ako rozumný prístup.
(V podstate jediné, čo mi chýba na vašom pokuse o riešenie, je to, že ste tam nijako nezdôvodnili prečo vektor $c\vec\alpha+d\vec\beta$ nepatrí do S resp. do T. Asi ale nie je dobre brať úplne ľubovoľné c,d; napríklad pre c=1, d=0 dostanete vektor $\vec\alpha$, ktorý určite patrí do S.)