Cvičenia ZS 2013/14

[Martin Sleziak]

1. cvičenie (23.9., 24.9.):
Riešili sme príklady na overenie, či ide o tautológiu a na dôkazy nejakých jednoduchých množinových identít.
Tieto veci som síce spomenul iba s jednou skupinou, ale:
Možno je zaujímavé zamyslieť sa nad tým, ako by mohli vyzerať Vennove diagramy pre viac než 3 množiny. Viac o tom si môžete pozrieť tu.
Ďalšia vec je to, že pri dôkaze tranzitívnosti inklúzie sme vlastne nedokázali úplne presne to, čo bolo treba - pozri tu. Toto súvisí trochu s témou ďalšieho cvičenia, kedy sa budeme zaoberať výrokmi s kvantifikátormi.

[Martin Sleziak]

2. cvičenie (30.9., 1.10.):
Výroky s kvantifikátormi. S jednou skupinou sme sa stihli vrátiť aj k tranzitívnosti inklúzie.

[Martin Sleziak]

3. cvičenie (8.10.,9.10.): Karteziánsky súčin.

[Martin Sleziak]

4. cvičenie (14.10, 15.10.):
Relácie: Niektoré časti tvrdenia 3.1.13 (ekvivalentné podmienky pre reflexívnosť, symetriu, tranzitívnosť...) Cvičenia na skladanie relácií.

[Martin Sleziak]

5. cvičenie: (jedna skupina 15.10, druhá skupina ho ešte len bude mať 21.10.)
Vzor a obraz množiny. Bijekcie, injekcie, surjekcie.
Niektoré úlohy takéhoto typu sú vyriešené v texte k prednáške, konkrétne tam máte dokázané niektoré časti tvrdenia 3.2.13 a je tam dokázané aj tvrdenie 3.2.19. Niečo sa dá nájsť aj na fóre, konkrétne tu, tu a tu.

[Martin Sleziak]

6. cvičenie (28.10.,29.10.):
Kardinalita. Ukázali sme, že operácia s kardinálmi sú dobre definované. (Pre súčet a mocninu sa tento dôkaz dá nájsť aj v texte k prednáške.) Ukázali sme si na konkrétnom príklade, že pre kardinály z nerovnosti $b<c$ nevyplýva $a+b<a+b$. (Z prednášky vieme, že pre ostrú nerovnosť to platí.) Ukázali sme si, že $|Z|=\aleph_0$ a tiež sme sa pozreli na to, či ostrá nerovnosť $|A|<|B|$ je ekvivalentná s tým, že existuje bijekcia medzi $A$ a vlastnou podmnožinou $B$.

[Martin Sleziak]

7. cvičenie: (4.11.)
Ukázali sme si konkrétne príklady dobre usporiadaných množín skonštruované pomocou súčtu/súčinu dobre usporiadaných množín.
Dokázali sme si, že ak $A$ je dobre usporiadaná množina a $f\colon A\to A$ je injektívne monotónne zobrazenie, tak pre každé $a\in A$ platí $a\le f(a)$. Ako dôsledok sme dostali, že medzi dvoma dobre usporiadanými množinami môže existovať nanajvýš jeden izomorfizmus a tiež to, že $id_A$ je jediný izomorfizmus z $A$ do $A$.
Druhá skupina: (5.11.) Prešli sme niektoré veci z včerajšej prednášky (väčšinu bez dôkazov) a pozreli sme sa na súčty a súčiny niektorých dobre usporiadaných množín.

[Martin Sleziak]

8. cvičenie (11.11.):
Kardinálna aritmetika.
Dokázali sme tie vlastnosti kardinálnych operácií, ktorých dôkazy sme vynechali na prednáške.
Vyrátali sme niekoľko príkladov na výpočet kardinálov.