Na úvod asi zopakujem to, co som hovoril už viackrát.
Ak chcem zdôvodniť, že nejaké tvrdenie platí, mal by som uviesť dôkaz.
Ak chcem zdôvodniť, že neplatí, mal by som nájsť kontrapríklad. (Čiže v tomto prípade by som mal uviesť konkrétne množiny, pre ktoré dané tvrdenie neplatí.) Na to, aby som porozumel, prečo dané tvrdenie neplatí, mi môže veľmi pomôcť, keď sa pokúšam o jeho dôkaz. Takisto neúspešný dôkaz mi môže pomôcť s tým, ako mám vymyslieť kontrapríklad. Ale vždy treba uviesť aj konkrétny príklad.
********
Ukážeme si riešenie pre niektorú rovnosť, ktorá platí:
$$(A\times B)\cap(C\times D) \subseteq (A\cap C) \times (B\cap D)$$
Čiže chceme overiť, či každý prvok z množiny na ľavej strane patrí aj do množiny na pravej strane. V oboch prípadoch ide o množiny usporiadaných dvojíc, čiže stačí pracovať s prvkami, ktoré sú dvojice.
Chceme teda vlastne skontrolovať, či z $(x,y)\in(A\times B)\cap(C\times D)$ vyplýva $(x,y)\in(A\cap C) \times (B\cap D)$. Pokúsime sa to prepisovať podľa definície.
$(x,y)\in(A\times B)\cap(C\times D)$ $\Leftrightarrow$
$(x,y)\in(A\times B) \land (x,y)\in(C\times D)$ $\Leftrightarrow$
$(x\in A) \land (y\in B) \land (x\in C) \land (y\in D)$ $\Leftrightarrow$
$(x\in A) \land (x\in C) \land (y\in B) \land (y\in D)$ $\Leftrightarrow$
$(x\in A\cap C) \land (y\in B\cap D)$ $\Leftrightarrow$
$(x,y)\in (A\cap C) \times (B\cap D)$
Všimnime si, ze máme dokonca všade ekvivalenciu - v skutočnosti sme teda dokázali rovnosť
$$(A\times B)\cap(C\times D) = (A\cap C) \times (B\cap D)$$
******
V inej časti zadania bola otázka, či platí
$$(A\cup C)\times(B\cup D) \subseteq (A\times B)\cup(C\times D).$$
Skúsme, čo dostaneme pre $A=B=\{0\}$, $C=D=\{1\}$.
Potom $A\cup C=\{0,1\}$, $B\cup D=\{0,1\}$, teda $(A\cup C)\times (B\cup D)=\{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}$.
Súčasne máme $A\times B=\{(0,0)\}$ a $C\times D=\{(1,1)\}$, čiže $(A\times B)\cup(B\times D)=\{(0,0),(1,1)\}$.
vidíme, že uvedená inklúzia neplatí. (Napríklad $(0,1)\in (A\cup C)\times (B\cup D)$, ale $(0,1)\notin (A\times B)\cup(C\times D)$.)
(Na kontrapríklad sa dá vcelku ľahko prísť tak, ze skúsime toto tvrdenie dokazovať a zistíme, ze dôkaz funguje vcelku priamočiaro, akurát na jednom mieste to nevychádza.)
******
Ešte raz k zápisom
Už minule sa vyskytol formálny problém so zápisom - logické spojky píšeme medzi výroky, množinové oprácie alebo aj $\subseteq$ medzi množiny. Pozri post k du2.
Konkrétne príklady z tejto du:
Toto je nesprávne hneď z viacerých dôvodov. Medzi množinami píšeme $=$ a nie $\Leftrightarrow$. (Toto je logická spojka, tá môže byť medzi výrokmi.)$(A\times B)\cap(C\times D) \Leftrightarrow \{\exists (a,b) \colon (a\in A \land b\in B)\} \cup \{\exists (c,d) \colon c\in C \land d\in D\}$
Ďalej keď chcem napísať množinu prvkov s nejakou vlastnosťou $P(x)$, zapíšem to takto: $\{x; P(x)\}$. (Pripadne $\{x\in A; P(x)\}$, ak ich vyberám z nejakej množiny, ako sme sa o tom rozprávali prii schéme axióm vymedzenia).
Čiže správne je $A\times B=\{(a,b) \colon (a\in A \land b\in B)\}$ a nie $A\times B=\{\exists (a,b) \colon (a\in A \land b\in B)\}$.
Tento zápis je takisto nesprávny. Buď môžem napísať výroky a medzi ne implikáciu: $(x\in A) \lor (x\in B) \Rightarrow (x\in A) \lor (x\in B) \lor (x\in C)$. Alebo môžem napísať monžiny a medzi ne inklúziu: $\{x; (x\in A) \lor (x\in B)\} \subseteq \{x; (x\in A) \lor (x\in B) \lor (x\in C)\}$.$(x\in A) \lor (x\in B) \subseteq (x\in A) \lor (x\in B) \lor (x\in C)$