Prednášky ZS 2013/14

[Martin Sleziak]

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorý z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

[Martin Sleziak]

1. prednáška Deliteľnosť. Najväčší spoločný deliteľ. (Ako posledné sme stihli dokázať vetu 2.1.7 - Bézoutovu identitu. Nehovorili sme o tom, ako sa dajú vyrátať čísla spĺňajúce Bézoutovu identitu - ak si potrebujete pripomenúť rozšírený Euklidov algoritmus, nejaké odkazy nájdete tu.)

[Martin Sleziak]

2. prednáška (30.9.)
Najväčší spoločný deliteľ. Dokončil som časť o n.s.d. (Euklidova lema a ďalšie vlastnosti.) Preskočil som lemu 2.1.13 a dôsledok 2.1.14 - vrátime sa k nim neskôr, keď ich budeme potrebovať použiť.
Prvočísla. Definícia, základné vlastnosti, základná veta aritmetiky (jednoznačnosť a existencia rozkladu na prvočísla).
Rozloženie prvočísel. Zatiaľ sme stihli len to, že v množine prvočísel sú ľubovoľne dlhé medzery. Povedali sme si tiež niečo o číslach bez kvadratických deliteľov.

[Martin Sleziak]

3. prednáška: (7.10.)
Rad prevrátených hodnôt prvočísel diverguje. Ukázali sme si tri rôzne dôkazy tohoto faktu.
Využívali sme fakt, že rad $\sum\frac1{n^2}$ konverguje. (Čo sa dá ukázať pomerne ľahko.) Ak vás zaujíma dôkaz toho, že presná hodnote tejto sumy je $\pi^2/6$, tak nejaký dôkaz je v texte prednáške (v dodatku) - je to dôkaz pomocou Fourierových radov. V literatúre sa dá nájsť veľa ďalších dôkazov, nejaké odkazy nájdete tu.

[Martin Sleziak]

4. prednáška (14.10):
Prvočíselná funkcia. Zadefinovali sme prvočíselnú funkciu a vyslovili prvočíselnú vetu (bez dôkazu). Dokázali sme Čebyševove nerovnosti. Dokázali sme odhad na $n$-té prvočíslo: $an\ln n < p_n < bn\ln n$.

[Martin Sleziak]

5. prednáška (21.10):
Čebyševova funkcia. Odvodili sme asymptotický vzťah prvočíselnej funkcie a Čebyševovej funkcie.
Bertrandov postulát. Dokázali sme Bertrandov postulát.

[Martin Sleziak]

6. prednáška (28.10.):
Prvočísla špeciálneho tvaru a niektoré otvorené problémy. Povedali sme si niečo o prvočíslach v aritmetických postupnostiach, o prvočíselných dvojčatách, o Mersennových a Fermatových prvočíslach.
Kongruencie. Prešli sme úvod do kongruencií, (Definícia a základné vlastnosti.)

[Martin Sleziak]

7. prednáška (4.11)
Lineárne kongruencie. Veta o tom, kedy existuje riešenie, aký je počet riešení, ako ich nájsť.
Čínska veto o zvyškoch. Urobili sme dva dôkazy čínskej vety o zvyškoch a ukázali sme si riešenie sústavy kongruencií aj na konkrétnom príklade. (Z tejto časti som neprednášal vetu 3.1.21, ktorú ani nebudeme vo zvyšku prednášky potrebovať.)
Harmonický rad. Ešte sme sa vrátili k harmonickému radu $\sum \frac1k$, ktorého divergenciu sme viackrát použili. Ukázali sme si výsledok o Eulerovej konštante, ktorý v podstate hovorí. že čiastočné súčty tohoto radu (harmonické čísla) rastú približne rovnako rýchlo ako $\ln n$.

[Martin Sleziak]

8. prednáška (11.11.):
Na začiatku sme dokázali lemu 2.1.13 a dôsledok 2.1.14. (Tie som preskočil, keď sme preberali druhú kapitolu.)
Multiplikatívne funkcie: Definícia, jednoduché príklady, $f$ je multiplikatívna $\Rightarrow$ $g(n)=\sum\limits_{d\mid n} f(d)$ je multiplikatívna. Funkcie $\sigma(n)$, $d(n)$ (súčet deliteľov a počet deliteľov.
Dokonalé čísla. Dokonalé čísla sme zadefinovali, ukázali sme si charakterizáciu párnych dokonalých čísel pomocou Mersennových prvočísel. Pre nepárne dokonalé čísla sme si povedali nejakú nutnú podmienku.

[Martin Sleziak]

9. prednáška (18.11.)
Funkcie $d(n)$ a $\sigma(n)$. Pozreli sme sa na to, ako sa tieto funkcie správajú pre veľké $n$.
Eulerova funkcia. Zadefinovali sme funkciu $\varphi(n)$ a dokázali, že je multiplikatívna.
Malá Fermatova veta. Ukázali sme si dva dôkazy malej Fermatovej vety.
(V poznámkach je ešte jeden kombinatorický dôkaz, ktorý som nerobil.)