Úloha 7.4. Doplnenie na bázu priestoru.

[JakubNovak72]

Úloha 7.4. Ak je to možné, doplňte zadané vektory na bázu priestoru $(\mathbb Z_7)^4$. Uveďte aj stručné zdôvodnenie, prečo práve s vektormi, ktoré dostanete ako výsledok, tvoria zadané vektory bázu.
a) $(1,2,1,0)$, $(1,2,3,3)$, $(2,1,2,3)$
b) $(1,2,5,3)$, $(3,1,5,4)$, $(3,4,4,0)$

a)
$\ \begin{pmatrix} 1& 2& 1& 0& \\ 1& 2& 3& 3& \\ 2& 1& 2& 3& \end{pmatrix}$ ~ $\ \begin{pmatrix} 1& 2& 1& 0& \\ 0& 0& 2& 3& \\ 2& 1& 2& 3& \end{pmatrix}$ ~ $\ \begin{pmatrix} 1& 2& 1& 0& \\ 0& 0& 2& 3& \\ 2& 1& 0& 0& \end{pmatrix}$ ~ $\ \begin{pmatrix} 0& 5& 1& 0& \\ 0& 0& 2& 3& \\ 2& 1& 0& 0& \end{pmatrix}$ ~ $\ \begin{pmatrix} 2& 1& 0& 0& \\ 0& 5& 1& 0& \\ 0& 0& 2& 3& \end{pmatrix}$ ~ $\ \begin{pmatrix} 4& 0& 1& 0& \\ 0& 5& 1& 0& \\ 0& 0& 2& 3& \end{pmatrix}$ ~ $\ \begin{pmatrix} 1& 0& 2& 0& \\ 0& 1& 3& 0& \\ 0& 0& 1& 5& \end{pmatrix}$ ~ $\ \begin{pmatrix} 1& 0& 0& 4& \\ 0& 1& 0& 6& \\ 0& 0& 1& 5& \end{pmatrix}$
Vektory su LN, takze mozem doplnit dalsi vektor. Zvolim si vektor (0,0,0,1), lebo vidim, ze s jeho pomocou dostanem krasnu jednotkovu maticu.
$\ \begin{pmatrix} 1& 0& 0& 4& \\ 0& 1& 0& 6& \\ 0& 0& 1& 5& \\ 0& 0& 0& 1& \end{pmatrix}$ ~ $\ \begin{pmatrix} 1& 0& 0& 0& \\ 0& 1& 0& 0& \\ 0& 0& 1& 0& \\ 0& 0& 0& 1& \end{pmatrix}$
Vektory su LN a ich pocet je rovnaky ako dimenzia priestoru a preto tvoria bazu.

b)
$\ \begin{pmatrix} 1& 2& 5& 3& \\ 3& 1& 5& 4& \\ 3& 4& 4& 0& \end{pmatrix}$ ~ $\ \begin{pmatrix} 1& 2& 5& 3& \\ 3& 1& 5& 4& \\ 0& 3& 6& 3& \end{pmatrix}$ ~ $\ \begin{pmatrix} 1& 2& 5& 3& \\ 2& 6& 0& 1& \\ 0& 3& 6& 3& \end{pmatrix}$ ~ $\ \begin{pmatrix} 1& 2& 5& 3& \\ 0& 2& 4& 2& \\ 0& 3& 6& 3& \end{pmatrix}$ ~ $\ \begin{pmatrix} 1& 2& 5& 3& \\ 0& 2& 4& 2& \\ 0& 0& 0& 0& \end{pmatrix}$
Vektoru su LZ a teda sa nedaju doplnit na bazu priestoru.

[Martin Sleziak]

$\begin{pmatrix} 1& 2& 5& 3& \\ 0& 2& 4& 2& \\ 0& 0& 0& 0& \end{pmatrix}$

Nie je na škodu skúsiť maticu doupravovať na RTM, lebo potom vieme urobiť aspoň čiastočnú skúšku správnosti.
$\begin{pmatrix} 1& 2& 5& 3& \\ 0& 2& 4& 2& \\ 0& 0& 0& 0& \end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix} 1& 0 & 1& 1& \\ 0& 1& 2& 1& \\ 0& 0& 0& 0& \end{pmatrix}$.
Keď pre túto maticu vyskúšame, či sa pôvodné vektory dajú dostať ako lineárna kombinácia vektorov z tejto matice, tak zistíme, že áno.

Riešenie je ok, značím si 1 bod.

[Martin Sleziak]

Aj keď sme to hovorili na cviku, pre istotu sem ešte raz zopakujem detailnejšie zdôvodnenie, prečo je to naozaj tak, ako sa píše v tomto riešení. (Presnejšie povedaná, jedno z mnohých možných zdôvodnení.)

V úlohe a) sme zistili, že $V_A=[(1,2,1,0), (1,2,3,3), (2,1,2,3)]=[(1,0,0,4),(0,1,0,6),(0,0,1,5)]$.
(Vieme, že riadkové operácie nemenia podpriestor generovanými riadkami matice.)
Dimenzia priestoru $V_A$ je teda 3. Máme zadané 3 vektory, ktorého generujú, tie sú potom aj lineárne nezávislé.

Ďalej vidíme, že vektor $(0,0,0,1)$ nepatrí do $V_A$ (pre RTM to vieme skontrolovať ľahko). Teda sa nedá získať ako lineárna kombinácia zadaných vektorov. Ak pridáme tento vektor, tak už budeme mať 4 lineárne nezávislé vektory v priestore dimenzie 4.

V úlohe b) nám vyšlo, že $V_B=[(1,2,5,3), (3,1,5,4), (3,4,4,0)]=[(1,0,1,1),(0,1,2,1)]$. Teda priestor $V_B$ má dimenziu 2.
Ak máme 3 vektory patriace do priestoru dimenzie 2, tak určite nie sú lineárne nezávislé.