Úloha 7.3. Zistite, či matice tvoria bázu VP

[JakubNovak72]

Úloha 7.3. Zistite, či nasledujúce matice tvoria bázu vektorového pristoru všetkých matíc
typu $2\times 2$ nad poľom $\mathbb R$:
$\left(\begin{smallmatrix}
1 & 2 \\
0 & 4
\end{smallmatrix}\right)$, $\left(\begin{smallmatrix}
2 & 3 \\
5 & 0
\end{smallmatrix}\right)$, $\left(\begin{smallmatrix}
3 & 0 \\
1 & 2
\end{smallmatrix}\right)$, $\left(\begin{smallmatrix}
0 & 5 \\
4 & 2
\end{smallmatrix}\right)$


a) $\left(\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 4 \end{smallmatrix}\right)$ ~ $\left(\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right)$ ~ $\left(\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right)$

b) $\left(\begin{smallmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 0 \end{smallmatrix}\right)$ ~ $\left(\begin{smallmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right)$ ~ $\left(\begin{smallmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right)$ ~ $\left(\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right)$

c) $\left(\begin{smallmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 2 \end{smallmatrix}\right)$ ~ $\left(\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{smallmatrix}\right)$ $\left(\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{smallmatrix}\right)$ ~ $\left(\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right)$

d) $\left(\begin{smallmatrix} 0 & 5 \\ 4 & 2 \end{smallmatrix}\right)$ ~ $\left(\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{smallmatrix}\right)$ ~ $\left(\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{smallmatrix}\right)$ ~ $\left(\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right)$

Pomocou riadkovych uprav som dosiahol jednotvkove matice, ktore su LN a maju rovnaku dimenziu ako priestor v ktorom pocitam ($\mathbb R$ $2\times 2$).

[Martin Sleziak]

Pomocou riadkovych uprav som dosiahol jednotvkove matice, ktore su LN a maju rovnaku dimenziu ako priestor v ktorom pocitam ($\mathbb R$ $2\times 2$).

Ok, toto pôsobí dojmom, že nebolo pochopené, o čom vlastne hovorí zadanie.

Rozumiem tomu správne, že tvrdíte toto? "Máme 4 matice, čo je toľko, koľko je dimenzia priestoru $M_{2,2}(\mathbb R)$. Teda ak sú lineárne nezávislé, tak tvoria bázu. Aby som zistil, či sú LN, tak každú z nich upravím na RTM. Ak vyjde vo všetkých prípadoch jednotková, tak tvoria bázu."

Ak ste to mysleli inak, tak skúste vysvetliť ako. Ale ak skutočne tvrdíte zhruba to, čo som napísal vyššie, tak to určite nie je pravda.
Ak si zoberiem $A=B=C=D=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$, tak by podľa vášho tvrdenia mali byť tieto matice LN.
Pritom ľahko dostaneme ako ich lineárnu kombináciu nulovú maticu, napríklad $A-B+C-D=0$.

[JakubNovak72]

Zle som pochopil zadanie. Myslel som, ze mam pre kazdu maticu zistit, ci je bazou priestoru.

[Martin Sleziak]

Zle som pochopil zadanie. Myslel som, ze mam pre kazdu maticu zistit, ci je bazou priestoru.

Priestor matíc $2\times 2$ nad poľom $\mathbb R$ má dimenziu 4. (Viete povedať prečo?) Teda 1 matica nemôže tvoriť jeho bázu - akákoľvek jeho báza musí pozostávať zo 4 matíc.

Ak už nebudete skúšať úlohu riešiť ďalej - a teda je voľná pre ostatných - tak to sem prosím explicitne napíšte. (Aby v takom prípade vaši kolegovia vedeli, že táto úloha je voľná a môžu ju skúsiť vyriešiť a získať body.)

[JakubNovak72]

$\left(\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 4 \end{smallmatrix}\right)$ $\left(\begin{smallmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 0 \end{smallmatrix}\right)$ $\left(\begin{smallmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 2 \end{smallmatrix}\right)$ $\left(\begin{smallmatrix} 0 & 5 \\ 4 & 2 \end{smallmatrix}\right)$

Vsimol som si, ze ak spocitam prvky matic, tak mi vyjde ze matica D je LK predoslych matic.

$\left(\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 4 \end{smallmatrix}\right)$ + $\left(\begin{smallmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 0 \end{smallmatrix}\right)$ - $\left(\begin{smallmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 2 \end{smallmatrix}\right)$ = $\left(\begin{smallmatrix} 0 & 5 \\ 4 & 2 \end{smallmatrix}\right)$

1 + 2 - 3 = 0
2 + 3 - 0 = 5
0 + 5 - 1 = 4
4 + 0 - 2 = 2

Matice nie su LN a preto netvoria bazu tohto priestoru.

[Martin Sleziak]

$\left(\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 4 \end{smallmatrix}\right)$ $\left(\begin{smallmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 0 \end{smallmatrix}\right)$ $\left(\begin{smallmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 2 \end{smallmatrix}\right)$ $\left(\begin{smallmatrix} 0 & 5 \\ 4 & 2 \end{smallmatrix}\right)$

Vsimol som si, ze ak spocitam prvky matic, tak mi vyjde ze matica D je LK predoslych matic.

$\left(\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 4 \end{smallmatrix}\right)$ + $\left(\begin{smallmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 0 \end{smallmatrix}\right)$ - $\left(\begin{smallmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 2 \end{smallmatrix}\right)$ = $\left(\begin{smallmatrix} 0 & 5 \\ 4 & 2 \end{smallmatrix}\right)$

1 + 2 - 3 = 0
2 + 3 - 0 = 5
0 + 5 - 1 = 4
4 + 0 - 2 = 2

Matice nie su LN a preto netvoria bazu tohto priestoru.

Ok, toto je pravda. Značím si za túto úlohu 1 bod.

Ešte sa oplatí zamyslieť nad tým, že ako by sme úlohu rátali, keby sa nám nepodarilo riešenie uhádnuť.
Zistiť, či sú tieto matice LN/LZ je to isté ako pýtať sa tú istú otázku pre vektory: $(1, 2, 0, 4)$, $(2, 3, 5, 0)$, $(3, 0, 1, 2)$, $(0, 5, 4, 2)$.

Teda môžeme zostaviť sústavu lineárnych rovníc a vyriešiť ju.
Alebo si vektory poukladať do riadkov a snažiť sa upraviť na RTM. (Alebo aspoň na tvar, z ktorého už vidno hodnosť.)

$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 4\\
2 & 3 & 5 & 0\\
3 & 0 & 1 & 2\\
0 & 5 & 4 & 2
\end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 4\\
0 &-1 & 5 &-8\\
0 &-6 & 1 &-10\\
0 & 5 & 4 & 2
\end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 4\\
0 & 1 &-5 & 8\\
0 &-6 & 1 &-10\\
0 & 5 & 4 & 2
\end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 4\\
0 & 1 &-5 & 8\\
0 &-5 &-4 &-2\\
0 & 5 & 4 & 2
\end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 4\\
0 & 1 &-5 & 8\\
0 &-5 &-4 &-2\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 4\\
0 & 1 &-5 & 8\\
0 & 0 &-29&38\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 4\\
0 & 1 & 0 & \frac{42}{29}\\
0 & 0 & 1 &-\frac{38}{29}\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \frac{32}{29}\\
0 & 1 & 0 & \frac{42}{29}\\
0 & 0 & 1 &-\frac{38}{29}\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$

[JakubNovak72]

[
$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 4\\
2 & 3 & 5 & 0\\
3 & 0 & 1 & 2\\
0 & 5 & 4 & 2
\end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 4\\
0 &-1 & 5 &-8\\
0 &-6 & 1 &-10\\
0 & 5 & 4 & 2
\end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 4\\
0 & 1 &-5 & 8\\
0 &-6 & 1 &-10\\
0 & 5 & 4 & 2
\end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 4\\
0 & 1 &-5 & 8\\
0 &-5 &-4 &-2\\
0 & 5 & 4 & 2
\end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 4\\
0 & 1 &-5 & 8\\
0 &-5 &-4 &-2\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 4\\
0 & 1 &-5 & 8\\
0 & 0 &-29&38\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 4\\
0 & 1 & 0 & \frac{42}{29}\\
0 & 0 & 1 &-\frac{38}{29}\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \frac{32}{29}\\
0 & 1 & 0 & \frac{42}{29}\\
0 & 0 & 1 &-\frac{38}{29}\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$

Nieco taketo som aj chcel urobit, len som si nebol isty, ci mozem.

[Martin Sleziak]

Nieco taketo som aj chcel urobit, len som si nebol isty, ci mozem.

Stačí si uvedomiť, že pýtať sa na lineárnu nezávislosť matíc $\left(\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 4 \end{smallmatrix}\right)$, $\left(\begin{smallmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 0 \end{smallmatrix}\right)$, $\left(\begin{smallmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 2 \end{smallmatrix}\right)$, $\left(\begin{smallmatrix} 0 & 5 \\ 4 & 2 \end{smallmatrix}\right)$ je to isté ako pýtať sa na lineárnu nezávislosť vektorov $(1, 2, 0, 4)$, $(2, 3, 5, 0)$, $(3, 0, 1, 2)$, $(0, 5, 4, 2)$.

Prečo je to tak? Sčitujeme a násobíme skalárom v oboch prípadoch po súradniciach, priestory $M_{2,2}(\mathbb R)$ a $\mathbb R^4$ sú "v podstate rovnaké" - v oboch prípadoch je každý vektor jednoznačne určený štvoricou reálnych čísel, líšia sa len tým, ako tieto prvky poukladáme, keď zapisujeme prvky nášho vektorového priestoru. (Presne toto bol argument, ktorý sme použili na prednáške na zdôvodnenie, že $M_{m,n}(F)$ je skutočne vektorový priestor.)

Iný pohľad (aj keď je to v podstate veľmi podobný argument):
Pýtať sa na lineárnu nezávislosť zadaných matíc je to isté, ako pýtať sa, kedy platí
$c_1\left(\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 4 \end{smallmatrix}\right)+c_2\left(\begin{smallmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 0 \end{smallmatrix}\right)+c_3\left(\begin{smallmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 2 \end{smallmatrix}\right)+c_4\left(\begin{smallmatrix} 0 & 5 \\ 4 & 2 \end{smallmatrix}\right)=\left(\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\right)$.
Z tejto podmienky dostaneme sústavu 4 rovníc s neznámymi $c_1$, $c_2$, $c_3$, $c_4$.
Presne tú istú sústavu dostaneme, ak sa pýtame, kedy platí $c_1(1, 2, 0, 4)+c_2(2, 3, 5, 0)+c_3(3, 0, 1, 2)+c_4(0, 5, 4, 2)=(0,0,0,0)$.