Môžeme si všimnúť, že v predošlom príklade sme ukázali, že že
F={a+b3√2+c3√22;a,b,c∈Q} je pole. Poďme sa pozrieť na to, či by sme vedeli nájsť vzorec, ktorý určuje inverzný prvok k danému prvku z
F.
Pri výpočte využijeme
Cramerovo pravidlo - ktoré sme sa ešte neučili. Čiže k tomu, čo píšem tu, sa môžete vrátiť neskôr, keď sa budeme učiť o determinantoch. (Druhá možnosť je pokúsiť sa sústavu, ktorú dostaneme, vyriešiť priamo, bez použitia Cramerovho pravidla. To je ale pomerne zdĺhavé. Výsledok však samozrejme musí byť rovnaký.)
Chceme teda pre dané
a,b,c∈Q nájsť také racionálne čísla
x,
y,
z, aby platilo
(a+b3√2+c3√22)(x+y3√2+z3√22)=1.
Najprv, ako prípravu na samotný výpočet, si všimnime, že
a+b3√2+c3√22=0 platí práve vtedy, keď
a=b=c=0. Môžeme to ukázať sporom.
Predpokladajme, že by platilo
a+b3√2+c3√22=0 a aspoň jedno z čísel
a,
b,
c by bolo nenulové. Ak
c=0 tak vieme z tejto rovnosti ukázať, že buď
a=b=0 (čiže všetky tri čísla by boli nulové), alebo
3√2=−a/b. Čiže by sme dostali, že
3√2 je racionálne číslo, čo je spor.
Ak
c≠0, tak vieme dostať rovnosť tvaru
3√22=e+f3√2,
kde
e aj
f sú racionálne čísla.
Vynásobením tejto rovnice číslom
3√2 dostaneme
2=e3√2+f3√22=e3√2+f(e+f3√2)=(e+f2)3√2+ef2−ef=(e+f2)3√2
Ak je ľavá strana nenulová, tak opäť vieme ukázať, že
3√2 je racionálne číslo a dostaneme spor. Ak je nulová, tak máme
2=ef a
e+f2=0. Z toho dostaneme
f3=−8, jediné racionálne riešenie je
f=−2. Súčasne máme
e=−f2=−4. Teda v rovnosti
3√22=e+f3√2 máme na ľavej strane kladné číslo a na pravej strane záporné číslo, čiže sme opäť dostali spor.
Z toho, čo sme si práve ukázali, vyplýva aj implikácia
a+b3√2+c3√22=a′+b′3√2+c′3√22 ⇒ a=a′,
b=b′,
c=c′.
Teraz už máme pripravené všetko na to, aby sme sa pustili do hľadanie inverzného prvku.
Chceli by sme, aby platilo
(a+b3√2+c3√22)(x+y3√2+z3√22)=1.
Ľavú stranu tejto rovnosti môžeme upraviť ako
(a+b3√2+c3√22)(x+y3√2+z3√22)=(ax+2cy+2bz)+(bx+ay+2cz)3√2+(cx+by+az)3√22.
Dostávame teda, že musia platiť tieto rovnosti:
ax+2cy+2bz=1bx+ay+2cz=0cx+by+az=0
Toto je vlastne lineárne sústava rovníc s neznámymi
x,
y,
z, v prípade, že determinant matice sústavy je nenulový, tak bude mať jediné riešenie, ktoré budeme vedieť vyjadriť na základe Cramerovho pravidla. Vyrátajme teda najprv determinant matice sústavy:
|a2c2bba2ccba|=a3+2b3+4c3−6abc.
Ak chceme použiť Cramerovo pravidlo mali by sme sa najprv presvedčiť o tom, že tento determinant je nenulový.
Riešime teda vlastne otázku, či pre
a,b,c∈Q môže nastať rovnosť
a3+2b3+4c3−6abc=0. Chceme ukázať, že to môže nastať iba pre
a=b=c=0.
Zdôvodnenie tohoto faktu nie je úplne jednoduché. Môžeme to urobiť napríklad takto: Označme
u=a,
v=b3√2,
w=c3√22. Po tejto substitúcii prejde naša rovnosť do tvaru
u3+v3+w3−3uvw=0.
Ďalej použijeme rozklad
u3+v3+w3−3uvw=(u+v+w)(u2+v2+w2−uv−uw−vw)=12(u+v+w)((u−v)2+(v−w)2+(w−u)2).
(Táto rovnosť sa ľahko overí priamym výpočtom, objaviť ju ale nie je úplne jednoduché.)
Ak sme overili predošlú rovnosť, tak už vieme, že náš výraz sa bude rovnať nule iba ak
u+v+w=0 alebo
(u−v)2+(v−w)2+(w−u)2=0. V prvom prípade dostávame
u+v+w=a+b3√2+c3√22=0. Už sme overili, že to nastane iba ak
a=b=c=0. V druhom prípade by sa mal rovnať nule súčet troch nezáporných reálnych čísel, čo znamená, že
u−v=v−w=w−u=0, a teda
u=v=w. Potom dostávame
a=3√2b=c3√22 a ak sú
a,
b,
c nenulové tak dostaneme, že
3√2 je racionálne, čo je spor.
Podarilo sa nám teda ukázať, že uvedený determinant je pre racionálne čísla
a,
b,
c nenulový. Ak teraz použijeme Cramerovo pravidlo, dostaneme
x=|12c2b0a2c0ba||a2c2bba2ccba|=a2−2bca3+2b3+4c3−6abcy=|a12bb02cc0a||a2c2bba2ccba|=2c2−aba3+2b3+4c3−6abcz=|a2c1ba0cb0||a2c2bba2ccba|=b2−aca3+2b3+4c3−6abc
Priamym výpočtom sa dá skontrolovať, že
x+y3√2+z3√22 je skutočne inverzný prvok k prvku
a+b3√2+c3√22.