Prednášky ZS 2013/14

[Martin Sleziak]

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorý z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

[Martin Sleziak]

1. prednáška: (23.9.)
Po nejakom stručnom historickom úvode sme začali prechádzať jednotlivé axiómy systému ZFC. Stihli sme: axiómu extenzionality, axiómu existencie, axiómu dvojice, axiómu zjednotenia. Ukázali sme, že existuje zjednotenie dvoch množín. (To bola posledná vec, ktorú sme stihli. V texte k prednáške je to tvrdenie 2.3.4. Veci, ktoré sme hovorili na prvej prednáške, sú v texte v kapitolách 2.2 a 2.3.)

[Martin Sleziak]

2. prednáška: (30.9.):
Axiomatický systém ZFC. Dokončili sme ostatné axiómy.
Operácie s množinami. Pripomenuli sme definície $A\cup B$, $A\cap B$, $A\setminus B$, $A\triangle B$, $A\subseteq B$. (Nevenovali sme sa detailne dôkazom ich vlastností, ale podobné veci sme robili na cvičení a poznáte ich aj z nižších ročníkov. Budem počítať s tým, že ovládate a viete dokázať fakty o týchto operáciach, ktoré sú vyslovené v tejto kapitole.) Trochu sme sa venovali prieniku a zjednoteniu systému množín $\bigcup\mathcal S$, $\bigcap\mathcal S$.

[Martin Sleziak]

3. prednáška (7.10.):
Karteziánsky súčin. Definícia a základná vlastnosť usporiadanej dvojice. Definícia a základné vlastnosti karteziánskeho súčinu. (Prešli sme vlastne časť 2.5 z textu.)
Relácie. Definícia relácie, jednoduché príklady, vlastnosti relácií (reflexívna, symetrická, tranzitívna, antisymetrická). Skladanie relácií, a jeho vlastnosti. ($R\circ id_A=R$, $id_A\circ S=S$, $\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}\inv{(S\circ R)}=\inv R\circ \inv S$.) Nevenovali sme sa tvrdeniu 3.1.13 - podobné veci budú na cviku alebo na d.ú.
Funkcie (zobrazenia). Zadefinovali sme zobrazenie ako špeciálny prípad relácie. Zloženie dvoch zobrazení je opäť zobrazenie. Zadefinovali sme injekciu, bijekciu, surjekciu.

[Martin Sleziak]

4. prednáška (14.10):
Funkcie. Ukázali sme, že $f^{-1}$ je zobrazenie $\Leftrightarrow$ $f$ je bijekcia. (Dôkaz tvrdenia 3.2.8 - ekvivalentná definícia inverzného zobrazenia - sme preskočili.) Ukázal som tvrdenie 3.2.14 o ľavom/pravom inverznom zobrazení pre injekciu/surjekciu. Zadefinovali sme vzor a obraz množiny. Ukázali sme niektoré časti tvrdenia 3.2.13. (Niektoré ďalšie sa objavia na cvičeniach alebo ako domáca úloha.)
Preskočil som v texte časti 3.2.1 (karteziánsky súčin systému množín) aj 3.2.2 (karteziánsky súčin funkcií) - vynechané časti nebudú ani na skúške. (Z tejto časti sa stretneme iba s karteziánsky súčinom dvoch funkcií $f\times g$ na cviku; neskôr ho použijeme aj v kapitole o kardinalite.)
Čiastočne usporiadané množiny. Zopakovali sme definíciu čiastočne usporiadanej množiny. Povedali sme si definíciu nasledovníka, predchodcu, najmenšieho, minimálneho, najväčšieho a maximálneho prvku. Povedali sme si, ako sa kreslia Hasseho diagramy.

[Martin Sleziak]

5. prednáška (21.10.):
Čiastočne usporiadané množiny. Dokončenie - povedali sme si, čo je izomorfizmus čiastočne usporiadaných množín.
Kardinálne čísla. Definícia. Nerovnosť kardinálnych čísel a jej základné vlastnosti. Cantor-Bernsteinova veta.
(Na budúce začnem tým, že stručne zopakujem základné veci o kardinálnych číslach a urobím ešte jeden dôkaz Cantor-Bernsteinovej vety.)

[Martin Sleziak]

6. prednáška (28.10.):
Kardinálne čísla. Zopakovali sme stručne veci z minula a ukázali ešte jeden dôkaz Cantor-Bernsteinovej vety.
Kardinálna aritmetika. Zadefinovali sme sčitovanie, násobenie a umocňovanie kardinálov a začali sme dokazovať niektoré ich základné vlastnosti. Zatiaľ sme stihli dokázať vlastnosti sčitovania kardinálov. (Niektoré z ďalších vlastností na prednáške preskočíme a budeme sa im venovať na cviku.)

[Martin Sleziak]

7. prednáška (4.11.):
Dobre usporiadané množiny. Definícia dobre usporiadanej množiny. Na dobre usporiadaných množinách funguje indukcia. Lexikografický súčin dobre usporiadaných množín.

[Martin Sleziak]

8. prednáška (11.11):
Vlastnosti operácii s kardinálnymi číslami. Na prednáške (a sčasti aj na cviku) sme prešli základné vlastnosti kardinálneho umocňovania a násobenia.

[Martin Sleziak]

9. prednáška (18.11.):
Cantorova veta. Cantorova veta - ukázali sme si všeobecný dôkaz, potom sme si ho ešte raz ilustrovali na príklade $X=\mathbb N$, aby bolo jasnejšie, prečo sa metóde dôkazu hovorí Cantorova diagonálna metóda.
Spočítateľné a nespočítateľné množiny. Zjednotenie spočítateľne veľa spočítateľných množín je opäť spočítateľné. Množina racionálnych čísel $\mathbb Q$ je spočítateľná. (Z tejto časti som na prednáške preskočil tvrdenie 4.4.4.)
Kardinalita množiny reálnych čísel. Povedali sme si o dyadickom rozvoji reálneho čísla. Pomocou neho sme dokázali, že $|\mathbb R|=2^{\aleph_0}=\mathfrak c$.