Úloha 7.2. Zistite hodnosť danej matice v zavislosti od c

[JakubNovak72]

Úloha 7.2. Zistite, aká je hodnosť danej matice v závislosti od parametra $c\in\mathbb R$:
a) $\begin{pmatrix}2&c+1&0\\2&c+1&2+2c\\c&-c&-c\end{pmatrix}$ b) $\begin{pmatrix}2c+1&c&-c-1\\1&c+1&c+1\\2&1&0\end{pmatrix}$



a)
$\begin{pmatrix}2&c+1&0\\2&c+1&2+2c\\c&-c&-c\end{pmatrix}$ ~ $\begin{pmatrix} 2&c+1&0 \\ 0&0&2+2c \\ c&-c&-c \end{pmatrix}$ ~ $\begin{pmatrix} 2&c+1&0 \\ 0&0&2+2c \\ c+2&1&-c \end{pmatrix}$ ~ $\begin{pmatrix} -c&c&c \\ 0&0&2+2c \\ c+2&1&-c \end{pmatrix}$ ~ $\begin{pmatrix} -c&c&c \\ 0&0&2+2c \\ 2&c&0 \end{pmatrix}$ ~ $\begin{pmatrix} -c-2&0&c \\ 0&0&2+2c \\ 2&c&0 \end{pmatrix}$ ~ $\begin{pmatrix} -c-2&0&c \\ 2&c&0 \\ 0&0&2+2c \end{pmatrix}$


Ak c=0, tak h(A)=2.

$\begin{pmatrix}-2&0&0\\2&0&0\\0&0&2\end{pmatrix}$ ~ $\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}$


Ak c=-1, tak h(A)=2.

$\begin{pmatrix}-1&0&-1\\2&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}$ ~ $\begin{pmatrix}1&0&1\\2&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}$


Ak c=-2, tak h(A)=2.

$\begin{pmatrix}0&0&-2\\2&-2&0\\0&0&-2\end{pmatrix}$ ~ $\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}$

Pre c rozne od -2, -1 a 0 predpokladam, ze bude h(A)=3.



b)
$\begin{pmatrix}2c+1&c&-c-1\\1&c+1&c+1\\2&1&0\end{pmatrix}$ ~ $\begin{pmatrix}2c+2&2c+1&0\\1&c+1&c+1\\2&1&0\end{pmatrix}$ ~ $\begin{pmatrix}2c+4&2c+2&0\\1&c+1&c+1\\2&1&0\end{pmatrix}$ ~ $\begin{pmatrix}c+2&c+1&0\\1&c+1&c+1\\2&1&0\end{pmatrix}$ ~ $\begin{pmatrix}c&c&0\\1&c+1&c+1\\2&1&0\end{pmatrix}$ ~ $\begin{pmatrix}c&c&0\\-c&1&c+1\\2&1&0\end{pmatrix}$ ~ $\begin{pmatrix}c&c&0\\-c-2&0&c+1\\2&1&0\end{pmatrix}$ ~ $\begin{pmatrix}c&c&0\\-2&c&c+1\\2&1&0\end{pmatrix}$ ~ $\begin{pmatrix}c&c&0\\0&c+1&c+1\\2&1&0\end{pmatrix}$ ~ $\begin{pmatrix}2&1&0\\c&c&0\\0&c+1&c+1\end{pmatrix}$


Ak c=0, tak h(A)=2.

$\begin{pmatrix}2&1&0\\0&0&0\\0&1&1\end{pmatrix}$ ~ $\begin{pmatrix}2&1&0\\0&1&1\\0&0&0\end{pmatrix}$


Ak c=-1, tak h(A)=2.

$\begin{pmatrix}2&1&0\\-1&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}$ ~ $\begin{pmatrix}2&1&0\\1&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}$ ~ $\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}$ ~ $\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}$

Pre c rozne od -1 a 0 predpokladam, ze bude h(A)=3.

[Martin Sleziak]

Pre c rozne od -2, -1 a 0 predpokladam, ze bude h(A)=3.

Vyzerá, že to naozaj vyjde tak ako píšete. Bolo by treba aj nejako zdôvodniť.

Napríklad z tejto matice sa dá pokračovať ďalej.

$\begin{pmatrix} -c-2&0&c \\ 2&c&0 \\ 0&0&2+2c \end{pmatrix}$

Ak $c\ne-1$, tak $2+2c\ne0$, čiže sa dá tretí riadok vynásobiť číslom $1/(2+2c)$.
Dostaneme tak:
$\begin{pmatrix} -c-2&0&c \\ 2&c&0 \\ 0&0&2+2c \end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix} -c-2&0&c \\ 2&c&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}$
Čo by sa dalo robiť ďalej?

[JakubNovak72]

Uplne som zabudol, ze to vlastne mozem doriesit.

(a) $c\ne-2$ $c\ne-1$ $c\ne0$

$\begin{pmatrix} -c-2&0&c \\ 2&c&0 \\ 0&0&2+2c \end{pmatrix}$ ~ $\begin{pmatrix} -c-2&0&c \\ 2&c&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}$ ~ $\begin{pmatrix} -c&c&c \\ 2&c&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}$ ~ $\begin{pmatrix} -c&c&0 \\ 2&c&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}$ ~ $\begin{pmatrix} -c&c&0 \\ 2+c&0&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}$ ~ $\begin{pmatrix} -c&c&0 \\ 1&0&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}$ ~ $\begin{pmatrix} -1&1&0 \\ 1&0&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}$ ~ $\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}$

(b) $c\ne-1$ $c\ne0$

$\begin{pmatrix}2&1&0\\c&c&0\\0&c+1&c+1\end{pmatrix}$ ~ $\begin{pmatrix}2&1&0\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}$ ~ $\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}$

[Martin Sleziak]

Ešte som v časti a predsa len našiel chybu. V tomto kroku:

$\begin{pmatrix} -c&c&c \\ 0&0&2+2c \\ c+2&1&-c \end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix} -c&c&c \\ 0&0&2+2c \\ 2&c&0 \end{pmatrix}$

ste zrejme pripočítavali k tretiemu riadku prvý. Potom by tam ale malo byť:
$\begin{pmatrix} -c&c&c \\ 0&0&2+2c \\ c+2&1&-c \end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix} -c&c&c \\ 0&0&2+2c \\ 2&c+1&0 \end{pmatrix}$
(Toto je jeden z dôvodov, prečo sa oplatí skúsiť dosadiť tie číselné hodnoty do pôvodnej matice - človek pri tom má šancu prísť na chybu.)

Celkove by sa dal postup v (a) asi o dosť zjednodušiť, keby ste hneď v druhom kroku delili $1/(2c+2)$. (A vyšiel by vám riadok tvaru 0, 0, 1.)

[JakubNovak72]

$\begin{pmatrix} -c&c&c \\ 0&0&2+2c \\ c+2&1&-c \end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix} -c&c&c \\ 0&0&2+2c \\ 2&c+1&0 \end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix} -1&1&0 \\ 0&0&1 \\ 2&c+1&0 \end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix} -1&1&0 \\ 0&0&1 \\ 0&c+3&0 \end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix} -1&1&0 \\ 0&0&1 \\ 0&1&0 \end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}$
Ziskavame dalsie riesenie pre $c\ne-3$.

Ak c=-3, tak h(A)=2.
$\begin{pmatrix} -1&1&0 \\ 0&0&1 \\ 0&c+3&0 \end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix} -1&1&0 \\ 0&0&1 \\ 0&0&0 \end{pmatrix}$

[Martin Sleziak]

ok, už len opravím, že v (a) by mala vyjsť hodnosť $h(A)=3$ aj pre $c=-2$. (Čo by vám aj vyšlo, keby ste $c=-2$ dosadili do pôvodnej matice - nie do tej, ktorá vyšla po chybe.)

Značím si jeden bod.

Pripomeniem, že neskôr sa naučíme to, že stĺpcové úpravy tiež nemenia hodnosť. (To by mohlo niekedy zjednodušiť úlohy takéhoto typu.)

A keď sa naučíme rátať determinanty, tak tým získame ešte ďalší spôsob, ako sa dá niečo takéto rátať.