Eulerova sumačná formula

[Martin Sleziak]

Na minulom seminári sme robili s Eulerovou sumačnou formulou:
$$\newcommand{\dcc}[1]{{\lfloor #1 \rfloor}}\newcommand{\dd}{\; \mathrm{d}}\sum_{y<n\leq x}f(n) = \int_y^x f(t) \dd t + \int_y^x (t-\dcc t)f'(t) \dd t + f(x)(\dcc x-x)-f(y)(\dcc y-y).$$
Ak robíme s funkciou $f$, ktorá je klesajúca (teda $f'(x)<0$) a $\lim\limits_{x\to\infty} f(x)=0$, tak vlastne dostaneme
$$\sum_{n\leq x}f(n) = \int_1^x f(t) \dd t - \int_1^\infty \{t\}f'(t) \dd t + f(1) + O(f(x)),$$
pričom číslo $f(1)- \int_1^\infty \{t\}f'(t) \dd t$ je nejaká konštanta.

Stačí si uvedomiť, že
$\left|\int_x^\infty \{t\}f'(t) dt\right|=-\int_x^\infty \{t\}f'(t) dt\le -\int_x^\infty f'(t) \dd t=f(x)$.

V podstate je to presne postup, ktorý bol použitý v dôkaze dvoch častí Theorem 3.2. Takto sme mohli časť dôkazu urobiť naraz pre (a) aj (b). Možno sa nám toto pozorovanie bude hodiť aj v niektorých cvičeniach.