Úloha takéhoto typu je vyriešená v úlohe 2.3.Overte, či množina F={a+b√3;a,b∈Q} s obvyklým sčitovaním a násobením reálnych čísel tvorí pole. (Fakt, že reálne čísla (R,+,⋅) tvoria pole samozrejme môžete používať.)
Veľa vecí nebolo treba rozpisovať - stačilo napísať, že sa zdedia z poľa R. (Pracujeme s podmnožinou R a operácie + a ⋅ sú rovnaké ako v R.)
Čiže veľa vlastností sa zdedí z väčšej množiny úplne automaticky: distributívne zákony, komutatívnosť a asociatívnosť oboch operácií. Možno nie úplne jasné na prvý pohľad, ale to že súčin nenulových prvkov je nenulvoý sa zdedí tiež z poľa R.
Veci, ktoré treba kontrolovať sú: Sú to binárne operácie? (Na toto mnoho ľudí zabudlo.) Existuje neutrálny prvok? Má každý prvok inverzný prvok?
Overenie či ide o binárne operácie znamená skontrolovať, či súčet a súčin dvoch prvkov z F je opäť z F:
(a+b√3)+(c+d√3)=(a+c)+(b+d)√3(a+b√3)(c+d√3)=(ac+3bd)+(ad+bc)√3
Ak a,b,c,d∈Q, tak aj a+c, b+d, ac+3bd aj ad+bc sú racionálne.
Nájdenie neutrálneho prvku pre sčitovanie a násobenie a aj nájdenie inverzného prvku pre sčitovanie je ľahké. (Takisto ako kontrola, či sú to prvky z F.)
O trošičku zaujímavejšie je to s inverzným prvkom vzhľadom na násobenie. Pre a+b√3≠0 máme
1a+b√3=a−b√3(a−b√3)(a+b√3)=a−b√3a2−3b2.
Pretože aa2−3b2 aj −ba2−3b2 sú racionálne čísla, tento prvok patrí do F.
Zostáva ešte overiť, že ak a+b√3≠0, tak je menovaťeľ a2−3b2 nenulový. (Treba tu využiť, že √3 je iracionálne číslo.)
Úlohu som bodoval tak, že 1 bod som dal ak ste mali správne definíciu poľa, 1 bod za vlastnosti, ktoré sa zdedia R, 1 bod za inverzný prvok na násobenie, 1 bod za ostatné vlastnosti (ktoré sa síce nededia, ale je ich pomerne ľahké dokázať).